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複數 平方根 在 [分享] 複數極式與平方根- 看板tutor - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
指南針會告訴你方向，但它不告訴你如何到達目的地。
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在寫這篇之前：
感謝曾經對我的敘述做過批評的人，
因為這能讓我經由反思而得到更重要的東西。
這篇以高中數學能見到的範疇來做討論與分享，
先來看看這部份課綱給的方向是什麼。
https://ppt.cc/iZfA
二、三角函數
(前略)
複數的幾何意涵是以三角函數呈現，內容包括複數的極式與棣美弗定理。為了
處理 1 的 n 次方根問題，要複習正、餘弦函數的和角公式。
(中略)
3.複數的幾何意涵
3.1 複數平面、絕對值、複數的極式、複數乘法的幾何意義。
3.2 棣美弗定理，複數的 n 次方根，如：
◆(cosα + i sinα)(cosβ + i sinβ) = cos(α+β) + i sin(α+β)
◆複數的 n 次方根僅談根的求法，以及複數的等比級數，......
(下略)
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這時候可以進入這文章的主題，討論複數的平方根。
為了處理平方根的問題，需要複習正、餘弦函數的和角公式，
如 sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ
可用來說明棣美弗定理的使用；
再說明 (cosα + i sinα)^2 = cos(2α) + i sin(2α) ，
除了這些之外，還有一項是很值得去複習的：
複習 α/2 可以在哪個地方(如101學測第12題第5個選項)。
---
平方根的問題是有趣的，
在國中階段，我們被告知正實數有平方根，而負實數沒有，
到了高中剛開始不久的階段(多項式方程式)，
我們知道了負實數也能有平方根，
如： x^2 = 1 => x = ±1; x^2 = -1 => x = ±i 。
求知若渴的我們就會想問：「不是零且不是實數，會不會有平方根？」
在高中階段提到非零又不是實數，唯一能想到的就是非零的複數，
於是問題就被自然的轉換成「非零的複數會有平方根嗎？」
如： x^2 = cos(0度) + i sin(0度)，
在複數平面上能否依據前述找出適合的根；
x^2 = cos(180度) + i sin(180度)，
在複數平面上能否依據前述找出適合的根。
那麼，x^2 = cos(60度) + i sin(60度)，在複數平面找出的根又是如何？
藉由這些或者更多的舉例，
我們已經可以知道除了實數的平方根有兩個之外，
複數的平方根「理應」也是會有兩個，
甚至能觀察到這兩個根「理應」是一個圓上的直徑兩端點，
接著自然能進行後續的驗證步驟，
甚而繼續進行處理更高次方的根。
---
分享一題我在101學測前出給學生練習的題目
https://ppt.cc/ekCD
這題，你們會用 A -> B -> C 的方式去找，
還是用 C -> B -> A 的方式找呢？ :)
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本篇的最後，為了避免有人過度和我討論定義的問題，
還是說明一下「定義」在一篇文章與著作中的功能是什麼：
在大部分的文章與著作中，
無論是符號的或者敘述上被定義，
多是作者為了使讀者有相同的共識，
因而能妥善介紹作者想告訴給讀者的資訊，
(所以會常有明明敘述的是相同的事物，A書和B書的「定義」卻不相同的狀況。)
甚至可以觀察到，多數情況的符號並非是真的被定義出來的，
而一個符號讓大部分讀者都獲得相同共識的時候，
自然就會被沿用下去，如：i, e, π...等。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.85.175.77
※ 編輯: diego99 來自: 219.85.175.77 (11/11 17:51)
願聞其詳。
話說為什麼 C -> B -> A是猜的？
我原題目也只問哪個可能是而已阿@@
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其實我原本出題的想法是用負70度->負140度->負280度去出的XD
所以C -> B -> A反而是學生問我能不能這樣去想。
※ 編輯: diego99 來自: 219.85.175.77 (11/15 01:17)
廣義角即可
400度 -> 800度 -> 1600度
40度 -> 80度 -> 160度
我文章內就有提到這一題了。
所以在這題的情況下，C -> B -> A就不能說是用猜的吧？
反而我是相當贊同他用這方式選擇了應該選的答案。
※ 編輯: diego99 來自: 219.85.175.77 (11/15 01:29)
※ 編輯: diego99 來自: 219.85.175.77 (11/15 01:35)
畢竟是學測前給學生的練習。
※ 編輯: diego99 來自: 219.85.175.77 (11/15 09:44)
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