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✅打電話/簡訊
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手錶在12點後會自動更新每日走路步數
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▍循循善誘
替他人留下決定空間的另一種方式是發問,而不直接發表定論。
納飛茲.阿敏(Nafeez Amin)和人合開雪帕補習班(Sherpa Prep),那是美國華盛頓特區的一間考試準備與入學顧問公司,提供GMAT與GRE課程,十幾年來協助數百位學生進入全國最好的研究所。
然而在早期的時候,納飛茲注意到有個問題一再出現:學生讀書讀得不夠勤。
納飛茲除了管理公司,通常也參與教學。大部分的學生已經好幾年沒念數學,GMAT又不允許考生用計算機,因此課程第一天通常從一些基本的算數暖身。此外,納飛茲會大致提一下課程的安排方式,鼓勵學生擬訂讀書計畫,最好還能向朋友透露自己正在補習,這樣比較不會半途而廢。
可是當納飛茲和學生討論的時候,他發現學生把目標放在很好的學校,卻不知道那需要非常認真讀書,GMAT才可能達標。許多學生根本沒做好背水一戰的心理準備。人人都申請相同的前十名頂尖學府,卻以為只需要付出一小點努力就能進去。學生不明白,頂尖學校的錄取率通常只有五%,而且申請者之中臥虎藏龍。
許多人報名補習班時,想說自己以前申請大學的SAT分數打敗群雄,或是以前考試都考很好,沒問題的。然而申請研究所是不同的戰場,對手不再是一群懵懂高中生。納飛茲的學生這次不僅要和其他的大學畢業生比拼,而且大家的大學成績都好到足以繼續念研究所。這次的競爭對手是頭腦更聰明的一群精銳。光是以前的認真程度還不夠。
納飛茲問學生課後打算花多少時間溫習,他聽到的數字低得驚人。大部分的人說一星期五小時,最多十小時。課程結束時,大約讀了五十小時的書,但學生如果要拿到心目中的漂亮分數,需要讀兩三百小時的書。五十小時差遠了。
然而當納飛茲試圖告訴學生這個事實,大家只是呆呆望著他,不相信他說的話;或是聽到要那麼累,乾脆打退堂鼓。開課第一天的反應非常不佳:這傢伙憑什麼告訴我,我必須更認真念書?
納飛茲不希望潑冷水,但他希望學生認清事實,了解他們課後還得花更多時間念書。考好GMAT遠比想像中困難,要花的時間比預期的多,要努力一段時間才會見到成果。
納飛茲因此改變方式,不再告訴學生他們需要做什麼,而是問他們要什麼。下一次他教課時,一開始就先問:「你們為什麼來這裡?你們的目標是什麼?為什麼要考GMAT?」
學生回答:「我們想進入最好的商學院。」
「好,那你們知道要進那些學校,需要多少分嗎?」
一名學生回答:「我需要七百二十分。」另一名學生回答:「七百五十分。」
「你們要如何考到那些分數?」納飛茲問。
學生此起彼落回答,開始對話,討論完後發現,每年考GMAT的人大約有二十五萬人。排名前二十的MBA課程,入學人數大約是一萬人。換句話說,僧多粥少。學生開始發現進研究所比想像中困難許多。
學生意識到這件事之後,納飛茲開始把對話引導到他最初想抵達的地方:大家需要多努力念書。「如果要考到高分,落在你們要的百分位數,你們認為一星期需要讀幾個小時的書?」納飛茲問。
學生沒用猜的,也沒隨便拋出一個數字,他們發現自己不知道答案,開始反問納飛茲問題。「老師,你輔導學生有一段時間了,你認為需要花多久的時間?」學生問,「像我這樣的學生,通常需要讀幾小時的書,成績才能進頂尖的學校?」
賓果。
這下子納飛茲拋出三百小時的數字時,每個人都認真聽他說話。學生計算一下,發現不可能在十週的課程內、一星期讀五小時的書,就達到大約三百小時,必須調整計畫才行。討論結束時,學生說自己會念書的時數,變成一開始的三倍。
納飛茲利用發問來促成結果。學生更認真讀書、從課程中獲得更大的收穫,考試成績也變好。納飛茲靠的不是直接告訴學生他們需要多少溫習時數,而是協助他們自行找出答案。
發問可以帶來兩種效果。首先,就和提供選單一樣,問題會轉換聽眾扮演的角色,不再忙著反駁,想出所有他們不認同某個說法的理由。他們的心思被另一件事占據:找出問題的答案。他們把注意力放在那個問題帶來的感受、他們有什麼看法。大部分的人樂於談關於自己的事。
第二,更重要的是發問可以促成接受。人們極可能不想聽別人的話,想照自己的意思做;而此時問題的答案可不是隨隨便便的答案,而是他們自己的答案。由於這是他們個人的答案,反映出他們自己的想法、信念與偏好,這樣的答案更可能驅使本人行動。
警告標誌與公衛宣導通常能提供資訊,但採取聲明的形式,如:「垃圾食物會讓你變胖」或「酒駕是謀殺」。
這種做法的目標是開門見山、直接了當,但通常給人的觀感是愛說教。民眾心生抗拒,開啟防禦模式反應:「哼,垃圾食物才不會讓你變胖;我認識很多人都吃麥當勞,體重從來都沒增加過。」或是「這廣告也太誇大。我朋友上星期就是喝酒後開車,也沒死人。」尤其是人們對某個議題有強烈看法時,太強勢會讓他們感到被脅迫,使訊息造成反效果。
不過,相同的內容可以用問問題的方式來傳達:你認為垃圾食物對你有好處嗎?
如果某個人的答案是「沒有」,這下子他們進退兩難。請他們解釋自己的看法時,這個問題會鼓勵他們踏出第一步。他們清楚意識到垃圾食物對自己沒好處,而一旦承認,就比較難繼續吃下去。
問題會促使聽眾按結論去做。不論怎麼答,行為要符合自己給出的答案。
納飛茲問學生想考到多少分,但他不是隨機選中那個問題。納飛茲會那樣問的原因是,他知道學生的答案將引導學生抵達他一直希望他們抵達的地方。
某間醫療器材公司的高階主管因為業務人員不肯帶下屬感到困擾。她寄出一封又一封的電子郵件、開了一場又一場的會議,鞭策資深員工指導自己負責的新人。
然而,催也沒用。獎金是取決於成交量,因此管理人員寧願把時間花在談生意上,無暇訓練別人。
事情缺乏進展讓那名高階主管沮喪不已,最後問一名業務:「你是如何成為如此成功的銷售人員?你今天使用的一切技巧是在哪裡學的?」
業務回答:「喔,我跟提姆學的。他是我以前的上司,已經離開公司了。」
高階主管想了想,接著問:「那如果你的團隊無法向你學習,他們要如何進步?」
如今那位業務是全公司最優秀的導師。
你是否企圖改變公司文化,或是要讓團隊支持不愉快的公司重組?催化劑不會把事先定好的計畫硬塞給同仁,恰恰相反,他們先從問問題開始。去找會受到計畫影響的人,徵求他們的意見、讓他們參與規劃過程。
這種做法有兩種好處。第一是能蒐集到問題的相關資訊——不只是問卷資料或道聽途說,而是從每天實際負責處理的同仁那聽到實情,得出更有效的解決方案。
更重要的是第二項優點:當方案出爐時,更可能受到所有人的支持。大家不會感覺是上面的人一聲令下、他們就被迫接受,反而感到自己也參與了改變的過程。他們已經替結論出力,也因此更願意花心力讓結論成真——這點將加快改變的速度。
循循善誘才是上策。
.
本文摘自《#如何改變一個人》
華頓商學院教你消除抗拒心理,從心擁抱改變
作者:約拿.博格
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
各位朋友好:
循循善誘這個方式儘管很基本,但基本功要練得好,也要透過不同案例來學習。這個方式的重點是,不要一下子把答案塞給對方,這反而讓對方不想買帳。
用一問一答的方式,即便剛開始好像進度慢,但對方感覺靠自己領悟出答案,對方會比較有動機執行。讓人感覺參與了做決定的過程,這也能給人尊重。
我曾經請青少年想像自己是父母,請他們試著解決青少年常見的問題。通常青少年也給不出什麼好答案,最後只好分享自己的父母如何應對—這種將心比心,讓青少年自己體會到,父母的難為。
即便鐵證如山,還是有很多人寧可相信自己抱持的錯誤答案。因為這答案產生的過程有當事人自己的努力,也牽涉到自尊、自主,大部分人都滿心期待自己的推論能被驗證為真,即便推論過程多麼荒謬跳躍。
祝願您,能學習問對問題,這常能鼓舞人的動機!
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謝謝我的朋友,全台灣第一微補習數學老師,CM Math,陳名老師,
把台灣的數學考卷寄給我,我做了民國106年,還有107年的學測。
這條影片,我會用香港的數學DSE考卷,跟它做一個比較,
分析以下的四大範疇:考試範圍、題目難度、刁鑽程度、公平程度。
我還會找一位香港的中六學生,即場做一次107學測,你猜她會拿多少分呢?
第一:考試範圍
台灣勝!
DSE有兩份考卷,卷一是長題目,需要寫步驟,有20題左右;
卷二是選擇題,ABCD四選一,有45題,總共有60多題。
但是學測,只有一份考卷,單選題、多選題、選填題,共有20題。
不過!題目的多少,絕對不能反映考試的範圍,因為學測考的數學知識,
絕對比DSE還要多,不只是多,而是好多、很多、好很多。
我們來做個訪問,這是另一份106學測,請問你知道什麼是「」嗎?……
第二:題目難度
台灣勝!
DSE的考卷,是由淺入深的,一年級到六年級的題目都有。
理論上,讀完三年級的學生,都可以及格。
舉例說,看看這條2017年DSE的第一題,是非常基本的指數定律,
如果這題都不懂的話,應該不好意思說讀過數學。
但是學測呢,一來就很難,根本上沒有難易之分,
而是所有課題,都想盡辦法出題考你。
舉例說,陳名老師說,107學測的第一題,好多學生,已經卡關了。
這條概念題,完全沒有數字,是考幻想力,概念不清的話,很容易選錯啊!
另外,還有一個重點,為什麼香港學生考學測,很大機會WATERLOO呢?
因為DSE可以帶計算機,但是,考學測是不可以用計算機的,
你在試場唯一的小幫手,就只有考卷後面的公式表,連加減乘除都要自己來。
還有,多選題的題型,因為5個選項當中,可能有多於1個答案,
所以DSE卷二的單選題技巧,全部都用不著,完全收皮!
我們又來訪問一下ICE,這個第2題,我看你是懂的,
為什麼選的時候,會想那麼久呢?
「如果我可以用計算機的話,我都會懂啊!」
對香港學生來說,不可以用計算機,也是一個很大的考驗!
第三:刁鑽程度
台灣勝!
DSE題目都很直接,就算有刁鑽的題目,因為卷一是用結構式題目,
會把難題分成很多個小部份,引導考生發現當中的竅妙,
就好像是提示一樣,所以不太刁鑽。
但是我認為DSE很刁鑽,只是DSE的刁鑽,不在於數學,
而是在於閱讀理解,舉例說這題,一大篇文章,閱讀理解不好的學生,
可能會被文章坑了,甚至連計什麼都不知道。
至於學測,我做106和107的時候,大部份題目都很有Brain Teaser的感覺,
所以當我看到竅妙的時候,我非常開心。
舉例說,106學測的第6題,cosxo cosx,一看就覺得刁鑽呢!
一般的香港學生,都不用學radian;選了M2的學生,才會學radian。
但就算M2的學生,懂得radian,這條題目把radian和degree結合,
相信也會難倒好多人,簡直是奧林匹克數學的題型。
第四,公平程度
台灣勝!
DSE的卷一,是要寫步驟的,所以寫字不好看的學生,說不定有麻煩,
老師看不出來,就可能當錯。(你在說自己嗎?)
而且把分數加起來的工作,是要老師來做,每年都發生改錯分數的案例。
但是學測是在答案卡上選答案,然後用機器掃描答案,
就像是DSE的卷二,不同的地方是,學測連長題目都是填充的,
舉例說,在這個選填題裏面,
如果你認為答案是8分之12,那你就在答案卡的18題選1,
在19題選2,然後在20題選8,就代表8份之12呢。
不用人手改卷,避免亂改卷的老師。
雖然我是香港人,但是不可否認,台灣學測比香港現在的DSE好太多呢!
四大範疇的比較,賽果是台灣4:0大勝!不知道陳名老師會唔會同意呢?
我在此邀請陳名老師,也試試我們香港DSE數學考試!
真懷念香港2012年前的ALEVEL考試呢……
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Title:
懂得加減乘除的人就是賭場機率專家?
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Subtitle:
為何機率咁簡單,卻需要電腦運算?
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Script:
上回提到,要預測長賭命運,就要計算EV;要計算EV,就要計算機率;要計算機率,就只需要數數目。
這當然只是故事的一部份而已,有些情況不是數數目就能了事,例如投注六合彩要麼中頭獎,要麼沒有中頭獎,只得兩個可能性,但我們不能因而聲稱中頭獎的機率為二份之一。這個例子與「擲毫要麼公,要麼字,因而機率各佔二份之一」的不同之處,在於擲毫的結果,一般我們會相信是均等,所以才可以使用「切蛋糕」法則。
賭場遊戲也有不少類似情況,例如骰寶(Sic Bo),俗稱買大細,每一局的結果,都可以分成「大」、「小」和「圍骰」三款。很明顯,一般人都會相信大和小的機率均等,但圍骰的機率卻相對低,因此,我們不會採用「切蛋糕」法則,聲稱這三款的結局各佔機率三份之一。
由此,我們需要更利害的方法——「強化版」樹狀圖。
強化版樹狀圖,將事件發生機率標記在分枝上,變相濃縮了沒差的資訊。以上方的樹狀圖為例,把擲不到1點的情況濃縮成一個情況,佔六份之五的機率,這有利計算擲出「圍一」的機率:
每一條路線,都是一個情況。每一個情況,都由數個階段構成。階段與階段之間用乘法連繫,情況與情況之間用加法連繫。
下一個階段?乘! 下一個情況?加!
由上圖可見,圍一的機率是 ,如此類推,圍骰包括圍一、圍二、圍三……圍六,總共有六個情況,因此圍骰的機率是 ,
(至此,我們僅用了乘法和加法。)
若以百分率表示,即 。
由於大和小的機率相同,因此從100%的機率之中,剔除了圍骰的2.78%,再各分一半,便是大和小分別的機率了。
大和小機率分別是:
(終於用齊加減乘除了!)
有了強化版樹狀圖,你便能進一步將隨機事件濃縮地考量,以百家樂(Baccarat)為例,你從維基百科(Wikipedia)搜索到百家樂「莊、和、閒」三款結果的機率:
(節錄自:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BE%E5%AE%B6%E6%A8%82)
根據圖表,莊勝的機率是0.458597。留意這個用點數表示機率的方法,是分數和百分率以外表達機率的常用方法,點數的好處是方便運算。例如,連開三口莊有三個階段:第一口莊、第二口莊、第三口莊,根據強化版樹狀圖的乘法理論,連開三口莊的機率可這樣計:
0.096448089這個數字代表了什麼呢?你需要將它乘以100,得出9.6448089,它就變成百分率了,即大約有9.64%的機率(接近一成)會連開三口莊。
點數 × 100 = 百分率(%)
不難看得出:賭局規則越複雜,機率便越難計算。以百家樂為例,補牌規則相當複雜,加上莊勝只能賺取0.95注,勝率以人手來計實在太繁複,這就是電腦出場的時候了。大約的流程是:先寫一串電腦程式碼,教電腦了解賭局的規則,然後由電腦取代人手,列出所有可能性,再由電腦數數目,以分蛋糕法則計算機率。但由於寫程式太過複雜,在這入門課就只略述至此。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
A ── 會考 Math 數學
A ── 會考 Additional Math 附加數學
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5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
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A ── IAL Mechanics 3
A ── IAL Statistics 1
A ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計?
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆,便可以簡單運算?
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利,你要靠EV;而EV的計算,則涉及賠率(Odds)和機率(Probability)。一般賭局,賭率無論是固定,抑或不固定,都必定會顯示(例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等);然而,勝負機率卻永遠隱藏。
計算機率可以非常複雜,看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的,相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單,有些連小學作業都有教。
為什麼又可以簡單?又可以複雜呢?這要由「機率是什麼」說起。
首先,機率就像重量、長度、價錢等,是一個量度值。當你想知道自己的體重,你會站在電子磅;當你想知道自己的身高,你會用尺量度;當你想知過大海船票幾貴,你會查一查價錢;而當你想知道一件事情發生的可能性,你便要計算機率。
那麼,有什麼事你會想知它的可能性呢?擲一粒骰「擲到七點」的可能性,你會想計算嗎?不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼,擲骰擲到整數的可能性,你又會想計算嗎?不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見,當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時,你不會問可能性。換言之,當你不肯定某事情是YES還是NO時,你才會想窺探可能性。
最家傳戶曉的例子,非擲毫莫屬:究竟下一回是公定字呢?
雖然機率是數學之中的一個範疇,但機率在語言之中也佔了一席位,縱使未曾學過機率,都會以「五十五十」來描述擲毫的結果,即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十(50%)。
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通,因為一整份是100%,各分一半自然是各佔50%,亦是兩份之中取一份,二份之一也。
分數概念對機率非常便利,將虛無飄渺的機率圖像化,轉化成「切蛋糕」的情況--由於你深信擲公和字的可能性均等,公和字就像一對雙胞胎,要吃相同份量的蛋糕,身為父母你便得把蛋糕一分為二,一份給公,一份給字,二份之一也。
此平平無奇的「二份之一」概念,更足以延伸至更多情況:
擲一粒骰子,擲得一點的機率是多少?
由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同,它們就像六胞胎平分生日蛋糕,你把蛋糕一分為六,一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率,六份之一是也。
只要看得穿多少胞胎在分蛋糕,便能運算出機率。
雖然擲毫的機率十分顯淺,顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣,然而,由擲毫和擲骰引起的誤解,同時惹來不少人放棄了機率,甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是:
「擲公字的機率是二份之一,那麼,要是第一局己擲到了一次公,下一局將必定擲到字嗎?」
當然不是!否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎?這是天方夜譚吧。再者,若「必定」梅花間竹地出現,機率該是100%,這一點也抵觸了「二份之一」的說法。
「既然二份之一的機率,並不代表能夠預測下一局,對賭客來說又有什麼意思?」
答案很簡單,就是用來計算EV,預知定然的長遠結果。
明白了機率的意思和功用之後,接下來正式講解機率的3大運算方法:
1. 窮舉法(Exhaustive Method):一次隨機事件
先前提過,基本的機率運算,是平均分蛋糕的遊戲。由此可見,「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好,這種「有幾」的問題,都只是嬰孩學「數手指」(即數數目)可以應付的問題。
由擲公字的例子起步,全部的情況有「公」和「字」,我們就這樣數:
「公……第一個;字……第二個。總共兩個。」
即問題涉及雙胞胎,將蛋糕分成兩份。
如想知擲得「公」的機率,我們又再數過:
「公……第一個。總共一個。」
可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份,二份之一也。
擲骰子亦同樣,這樣數全部的情況:
「一點……第一個;兩點……第兩個;三點……第三個;四點……第四個;五點……第五個;六點……第六個。總共六個。」
即問題涉及六胞胎,將蛋糕分成六份。
如想知擲得「雙數」(即2、4、6)的機率,我們又再數過:
「兩點……第一個;四點……第二個;六點……第三個。總共三個。」
可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份,六份之三也。
兩題的答案,分別是「二份之一」( )和「六份之三」( ),究竟誰大誰小呢?欲比較分數,可以先將它化簡,繼續直接觀察,或者相減或相除。然而,分數的觸覺並非人皆有之,曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此,我建議採取較「平易近人」的百份率(%),換算方法是--將分子除以分母,再乘以100,便是百份之多少,即多少%了。
機率(%)=分子÷分母×100
以上述的結果為例,先把1除2,再乘以100,得出50,即擲得公的機率為 50%;把3除以6,再乘以100,得出50,即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色,「一樣那麼可能」。
由這兩個例子得知:只要能夠準確細數可能發生的情況(我稱之為懂得數手指)便能夠計算基本的機率了。
當然,懂得數手指並不等如一定數得清,當數量太多的時候,例如打麻雀(144隻牌)一起手便食糊(又稱食天糊)的機率,逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人,的確能夠把所有可能性徹底列出,但整個過程也拖太久了吧?
因此,數數目亦應該要有聰明的方法。
2. 列表法(Tabulation):兩次隨機事件
以擲骰子為例,擲一粒骰當然能夠「數手指」,因為只得6面。可是,如果擲兩粒骰呢?總有多少個可能的結果?
「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個;第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性,最終便會得知,總共有36個可能發生的結果。
列出來當然可以,但無可否認實在太煩了,而煩,亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢?
日常生活中,有一種表達方法,很值得參考,就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹,因此會是兩個馬匹號碼互相配搭,例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」,情形就像2粒骰的點數,「一點」加「六點」。
由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下:
每一格分別代表一個情況,例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點,綠色的骰子三點」。 由此可見,擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之,將蛋糕切成36份。
如問擲得總點數為10的機率,使用「馬經作圖法」答案一目了然:
非常明顯,共有3個格子,是兩骰點數相加為十(分別是(4,6)、(5,5)和(6,4))因此這三十六胞胎,現在有三胞胎說要吃蛋糕了,在「36份之」中吃了「3」份,答案是「36份之3」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
值得留意的是,這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方:
試想想,現有6張卡,分別畫了骰子的6面,現在你隨機抽取兩張,請問2張卡的點數相加為十的機率是多少?
很多人會照舊作答「36份之3」,原因是問題只是將骰子變成卡片,情況不甚改變,而且,使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表:
可惜這是錯的,答案錯,列表也是錯的,錯在算少了一著:擲骰子可以擲到相同數字,例如2粒骰都是一點,但抽卡並不能抽到相同數字呢!卡片只得1張,你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此,列表應修正如下:
灰色代表根本不可能發生的情況,即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表,蛋糕應平分為30份,而不是36份。符合相加為十的結果,亦不是3個,而是2個,因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此,修正後的答案為「30份之2」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
3. 樹狀圖(Tree Diagram):兩次或以上隨機事件
雖然列表可以將可能性整齊地列出來,但列表也有它的局限之處,就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件,則要靠樹狀圖了。
以擲毫為例,如連擲三枚硬幣,擲得至少一次公的話,你便可以獲得8000元,這個遊戲值得花5000元去玩嗎?
首先,你得知道勝出這賭局的機率,即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件,因此無法使用列表法,非用樹狀圖不可:
樹狀圖就像旅行路線圖,每一條路都是一個行程,每一個行程就是每一個可能性,不妨逐個寫出來看看:
由圖所示,這年遊戲總共有8個結局,而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金,由此使用「分蛋糕」概念,你勝出遊戲的機率是8份之7,換算成百分率,即87.5%。
賠率則這樣計算:以5000元當作1注,如得勝則淨贏3000元,即贏3000÷5000注,又即0.6注。因此,你若參與這個賭局,你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%,是一個正數。長賭下去,你將會獲取40%的純利,當然值得參與賭局。
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