本周專欄,一樣講國一數學,預計分上下兩篇
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中學以下的素養教育與經驗談:一元一次方程式(上)
質因數、因倍數跟分數四則運算還好,小學夠熟的話,這邊大概問題出在練習不夠,或是遇到應用題轉不過來。家長請用筆者之前提過的方法,要求小朋友遇到應用題,口說解釋題意,你會知道他哪邊弄不清楚。若問題是在語文能力,就只能多讀多看多寫了;計算能力不佳,就透過計算簡單但數量多的題目來練反應。
再講一次,中等程度的學生,筆者從沒見過不練習,就自然而然會的。隨便寫寫就會的,程度至少都中上以上,換PR比例是超過80,別以為這好像很差,意思是10個同學裡面只有2個可以。
你確定家裡的寶貝是嗎?
自己在家教小朋友沒有面子問題,請不要死不承認自家小孩程度真的不好,會被害死的是小孩,不是爸爸媽媽。
[數學不再只是算術──掌握數學語言]
進入一元一次方程式後,主要有三點要注意,一個不小心會牽連到往後的二元一次聯立、一元二次方程式。簡單說就是,高中數學要投降吧。
1. 徹底理解一元、一次,方程式的意義
2. 怎樣解題
3. 如何看懂及設計應用題
一元一次方程式的定義,課本一定會教。一元指的是未知數只有一個,一次指的是指數只會是1,不會有2次出現。方程式的意思很多,在國中來說只會講到恆等式,所以小國一只要讓他知道「多數情況下,方程式代表一個等號,兩邊要相等」的概念就好。
用範例來說
x+1 = 2
2x+2 = x+1
2x+1 = 5
家長一定要問,問到學生可以表達「第一個式子意思是,等號左邊有一個未知數X,加上1後會等於2」,能到這種程度,才算是可以理解方程式的定義。千萬記得要力求正確,不要呼嚨過去「就一個不知道是多少的,加上1後會有2嘛」,這在表達一元一次還好,二次式後面就開始會昏。(按:未知數的含義及運用遠遠大於「某個特定數字」的概念,因此後者僅是就算術的邏輯在理解,並未開始掌握數學語言)
雖說我們目的不是要培養數學家、科學家……但是,
「數學不是算術」。
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全文請至方格子專欄閱讀https://vocus.cc/eoiss/60c8defdfd8978000162c8df
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一元一次方程式練習 在 Facebook 的最讚貼文
【規範:未來,先確認目標】
在談規範制訂之前,除了「融洽的親子關係」要建立,還有一個重要的觀點要先被確立,那就是「父母對孩子的課業要求」的目標是什麼?
如果父母的目標是:成績優異,考取班上前三名,段考均需要在95分以上。
這個目標非常清楚,如果孩子的天資聰穎,想要朝這個目標邁進,理應不會是太難的事,遊刃有餘的孩子,還能空出許多時光,父母亦能與孩子在假日保有融洽又緊密的親子關係。
但,若孩子的學習狀況是需要花費大量時間去努力、練習、寫評量,必須花費所有精力去投入學習,才能換來優異的成績,這樣的孩子,父母想必會擔心孩子一旦鬆懈,課業就再也追不上排頭的成績,為了讓孩子永遠名列前茅,肯定會挪動所有空閒時光,提供給孩子讀書、學習、複習、預習、補習、寫評量,這麼一想,孩子的時間自然而然被填滿,親子時光又能從何處培養?
因此,規範的制訂,究竟是為了讓孩子得到學業成績的高分,還是為了讓家庭更和諧,得與失,衡量之後,才能明白此番選擇之後,我們會得到什麼,以及,會失去什麼,這些都是選擇而來的。
不管父母選擇的目標是什麼,當孩子終於得取功成名就時,我深信父母會為孩子欣喜、會為孩子感到驕傲,但當孩子挫敗或困頓時,我擔憂的是,我們是否已經做好了父母與孩子連結的網,讓孩子安全的降落?
唐鳳,一個從小就展現天分的天才,她是個耀眼的天才,不用費勁讀書,就能永遠的名列前茅,但看過她的採訪報導的人都知道,世界是容納不了真正的天才,因此唐鳳的求學之路,比一般人更坎坷艱辛,因為成績太過優異,遭到同學霸凌,小學六年,轉學六次。成績優異的唐鳳,承受著外界不能明白的困境,而她又是靠著什麼樣的信念,支持她一路挺過來?
唐鳳說:母親,是我生命中的救星。
一個成績優異的天才,也會有挫敗困頓的時刻,所幸她的母親一直站在她身後,為她織起一張溫暖的親子網,支持她轉學,支持她考試交白卷,支持她走一條只有唐鳳能走的路。
唐鳳的母親,溫柔的接住了困頓的唐鳳,於是我們才能有今日的IT大臣。
今天清明連假第一天,藉由唐鳳求學歷程的故事,學習連結孩子,讓每一個孩子都能在愛與幸福中成長。
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媽媽是我生命的救星/採訪:陳雅林
#原文連結:https://reurl.cc/1gplGW
「慘遭霸凌的資優生童年」
到底,天才是怎麼形成的呢?
唐鳳的爸媽都在平面媒體工作,非常喜歡閱讀,這也使得唐鳳從小就被很多書籍環繞,她覺得書上的文字充滿魔力,加上罹患先天性心室缺隔,不能做太多戶外運動,所以待在家裡的時間很多。她通常接觸到什麼書籍,就一頭栽進去研究,當然,剛開始不識字,唐鳳必須靠長輩念給她聽,但由於天資聰穎,識字能力快,五歲就開始閱讀各國經典著作了。
幼稚園的時候,父親常常牽著唐鳳的手,一邊散步一邊跟她談論蘇格拉底、因式分解以及矛盾集錦(就是數學的六個領域:邏輯、機率、數、幾何、時間及統計之間的矛盾),這些高等數學的概念讓年幼的唐鳳非常著迷。
「反正數學用到的文字不多,它大部分是方程式,我覺得這是比較容易掌握的。」唐鳳居然認為方程式比較容易掌握,我想這對大多數數學不好的人來說,會倍覺受傷。當時的她,解方程式就好像是在玩遊戲過關一樣,不斷地征服關卡、挑戰難題,讓她一路進階到九元一次方程式,這是三歲到七歲的時光。她說:「我小時候也不是什麼都看得懂,之所以會多種語言與經典,都是跟家人對話學習到的,但對於數學和音樂,就覺得很有興趣。」
漸漸的,熱愛數學邏輯的唐鳳,對家裡的一些電腦程式設計相關的書開始感興趣,但家裡沒電腦,於是,她用原子筆畫出一個鍵盤,再用鉛筆畫出電腦螢幕上的反應,自己在紙上按一按鍵,然後再擦掉螢幕上的鉛筆做出不同的反應,用這種最陽春的方式開始寫程式,爸媽看不下去,兩週以後就買電腦給唐鳳了,從此探索之門大開,等於,唐鳳從小的學習就是從自己的興趣開始的,而且自學,這種學習完全沒有邊界。
但這一切,直到上了小學、進了體制,她才發現處處被制約在同一個框架裡,自己反而跟學校格格不入。小學一年級的時候她已經可以解出聯立方程式,而且當老師教一加一等於二時,唐鳳舉手跟老師說:「那不一定,如果是二進位的話,一加一就不等於二」,當場讓老師很難招架,後來老師乾脆要她每次上數學課時都去圖書館自己看書,唐鳳從此被從團體中隔離出來,她開始意識到自己跟其他人的不一樣。
第二名的同學竟然希望第一名的唐鳳死掉
當時學校透過資優測驗,已經確認唐鳳的智商是屬於最高等級,於是詢問唐鳳的爸媽是否讓孩子轉到有資優班的學校?唐鳳與媽媽討論,覺得嘗試新環境也不錯,但萬萬沒想到,資優班裡扭曲的競爭,徹底擊垮了唐鳳,第一名的她,被霸凌了。
「因為當時資優班裡有一位同學,常常考第二名,而只因拿不到第一名,回家就會被家長打罵,於是,這位同學憤恨不平地來嗆我說:『如果你不在這個世界上,那我就是第一名了。』……」第二名的同學竟然希望第一名的唐鳳死掉、消失,這是多麼可怕的詛咒。
不只如此,同學們為了考好成績,有一次趁老師不在的時候,伸手搶她的考卷想要抄答案,但唐鳳不想讓同學看,就拿著考卷逃跑,四、五個同學在後面追,最後跑到摔倒在地上,同學上前補了一腳,導致她撞牆昏倒。
這一年著實難熬,唐鳳經常在半夜做惡夢,不但會驚醒大哭,甚至還出現自殺的念頭。她很不快樂,會把自己關在房間裡哭,最終痛苦地跟媽媽說:「我不要上學了。」母親眼看自己的小孩都想自殺了,當然支持孩子休學,小二下學期,唐鳳就再也沒有去學校了。
之後再度轉學,這回轉到台北市指南山區的一所迷你小學念小學三年級,雖然環境與資優班比起來相對友善,但依然無法滿足唐鳳的學習需要,唐鳳母親開始另外幫唐鳳找尋學習資源,也開始支持唐鳳部分時間在家自學了,自己擬定學習計畫。總計小學六年,唐鳳就轉了六所學校,她現在會開玩笑地說:「我每個小學都只待一年,這樣的轉學法,剛好使得我都不用做暑假作業,這是最開心的地方」,狀似幽默輕鬆,但其實這段過程也是斑斑血淚,尤其包括父親的不諒解。
人與人之間,不該只有「競爭」
當時爸爸曾經認為唐鳳應該要有能力去面對群體生活的困難,並且解決它。這造成親子之間的衝突愈發劍拔弩張,逼得父親最後遠走德國修習博士,暫時逃離這個高度緊繃的教養問題。而唐鳳的母親則到處找尋資源,來因應唐鳳旺盛的學習力,像是台大數學系教授朱建正,他是三個資優生的爸,很能了解同樣天賦異稟的孩子思維,他和唐鳳每週有兩個小時在研究室聊天;另外,媽媽還帶著小學三年級的唐鳳到楊茂秀博士所推廣的兒童哲學「毛毛蟲哲學教室」,在這邊,她遇到的老師是輔大哲學研究所的研究生陳鴻銘,雖然年紀相差很多,但兩人卻不斷地進行批判性、關懷性與創造性的對話與思辨。還有一位楊文貴老師,也幫唐鳳到大學社團裡找一些擅長數理的大四學生,跟小三的唐鳳討論數學。
重新接觸數學和哲學的唐鳳,身心靈似乎比較安定下來,媽媽再幫孩子轉學到新店山上一所迷你小學,這個學校標榜與大自然親近,校長很樂意讓唐鳳以不同的方式的就學,後來唐鳳就從四年級直接跳級到六年級,而且一週只要去三天就可以,這時候的唐鳳愛上讀詩、寫詩。
後來小學六年級的課程都修完了,媽媽帶著唐鳳到德國去找爸爸,就留在異鄉重讀四年級,當地老師明白唐鳳的數理優異,因此數學作業都可以不用寫,老師全力幫助唐鳳學德文,兩個月的時間,她就能聽說讀寫德文了,真的是天才,後來她又繼續跟著同學一起學法文。
在德國的歲月,很開心,更難能可貴的是,父子情感漸漸修復,唐鳳認為,是德國的自由適性發展教育環境改變了父親。
她回憶著說,「當年我在台灣念小學,每個學校都念不滿一年,這確實比較不尋常,從父親的角度來看,他也不知道要怎麼看待自己的小孩,是一個完全非他小時候所學到的那種直線成就取向。我想,他在德國待了一年後,大概也慢慢了解,看事情本來就有很多的方法,也不需要一定要去迎合體制或衝撞體制,總是可以找到新的路。所以,後來是父親改變了!」
「但畢竟父親曾經希望你能設法留在體制,去勇敢面對困難、解決困難,妳怎麼跟他溝通這件事的?」
「當時我是用體育選手做比喻,像是舉重,在那個舉重選手適合的量級去舉重,是在鍛鍊肌肉,但如果越級,就是超過量級,硬要去舉重的話,不但鍛鍊不到肌肉,而且可能傷筋動骨,可能會一生都沒有辦法從那邊恢復。所以,我想每個人的承受力還是有限的!」
這樣的比喻,感覺像是揠苗助長,但唐鳳想說的是,把人放在不對的環境就是很窒息,他更具體的描繪:「好比現在把你裝到一個八歲小孩身體裡,然後要去每天去上學二年級,你也會受不了的!」
結果,唐鳳一家四口和樂地在德國生活,一下子一年就過去了。德國小學是四年制,唐鳳已經念完四年級,那下一步呢?德國老師想推薦資優的唐鳳去一所明星中學就讀,另外也有來自美國的華裔訪問學者提議讓唐鳳去美國名校就讀,但一直有思辨能力的唐鳳卻自己做出決定—她要回台灣,要在自己的土地長大,理由是,她要做台灣的教育改革!
怎麼回事呢?小時候歷經霸凌的唐鳳,一再思考,那位希望她死掉的第二名同學為什麼會有這樣仇恨極端的態度?她的結論是,八歲的孩子不會自己想像出這樣的講法,一定是家庭給她「人與人之間要相互競爭」的想法,因此她說這是整個結構性的問題,她希望能解決這個問題。思考的過程,她看了很多兒童心理學的書,想著:「我未來如果能夠投入教育的話,我要把這種結構上的狀況解決掉,不要讓大家覺得只有一種價值叫做競爭!」
於是,唐鳳回來台灣,再念一次六年級後,升上國中,當時的校長杜惠平與唐鳳深談過後,特許她不用每天到學校,只要有參加學校考試、可以記錄成績即可。那麼,不用上學的日子,她就到大學去聽課,不但聽了許多政治系、法律系和哲學系的名師課程,她的海量閱讀,更讓她浸淫在各式各樣的經典大作裡,而拜網際網路崛起之賜,唐鳳更自在地認識了一大批台灣的電腦天才。
「我十二歲第一次寫比較大型的程式,當時有一些清大、交大的研究生在虛擬世界裡面教我怎麼寫,就像是請家教一樣。」唐鳳回憶著說。
「那他們一定不知道這個寫程式的人只有十二歲?」我好奇電腦彼端的人恐怕不知道電腦此端是個孩子。
「對,但我在某些地方也會主動講我只有十二歲,但對方很多人不相信」,對唐鳳來說,年齡完全不是個問題,於是她發現,幾歲這件事,是看自己怎麼設定,「我如果表現得很幼稚,人家就把我當小孩;我如果表現得很成熟,人家就把我當大人。後來,我發現,他們是覺得我是一位很喜歡裝小孩的大人,哈!」看來唐鳳成熟到反而被動變成偽裝能力超強。
我沒有要PASS
而她能完全脫離學校的制約,是在國中二年級,儘管唐鳳可以不用到校,但校長希望她能參加考試才能有成績紀錄,但每次唐鳳都是交白卷。
「交白卷就零分耶!」我不解地問。
「那同學就沒有什麼可以抄的!」唐鳳還是覺得,「成績是自己的成績,為什麼要給別人看」,看得出幼時的霸凌讓她傷痕很深。
「那零分,你要怎麼PASS ?」我再問。
「我沒有要PASS 啊!」唐鳳這麼一答,瞬間讓我自慚形穢,覺得自己是否落入成績主義與升學主義的窠臼裡了……。
正當心頭為之一震時,她又說:「因為當時我國二的時候,校長已經跟我說,我之後其實不需要去學校,因為我自己有一套不需要學歷也可以做學問的方法,校長很支持我。但因為我那個班級是自願就學的實驗班,這個班之後會上哪個高中,完全是靠在校成績來決定的,如果我國一成績太好,國二不交幾張白卷拉下來的話,會影響到其他班上同學的升學。」
喔?原來唐鳳的交白卷,是為了避免同學的升學受到她成績太高的比例影響,果真,在校園體制裡,她的學習得處處考量到別人的處境……後來唐鳳就輟學了!
其實,唐鳳當時多次參加科展比賽奪大獎,早就可以保送建中了,但她就已經不想再待在體制裡了,當時她有建中的朋友直接跟她說:「你不用來讀建中,因為你自己就已經有研究方向,自己一天想要研究個十六個小時都可以,但如果去念高中的話,一天就會被學校綁住八小時,還得被迫分神去應付別的事情,何必如此呢?既然已經有一個清楚的學習計畫,就執行它就好了!」
母親是我生命中的救星
接下來,開始完全自學的日子,網際網路上,唐鳳自由地向來自全球各地的高手學習,當時她的朋友群都是電腦很高竿的大學生,她也開始投入自由軟體運動與開放原始碼,朋友非常均勻地分散在全球每個時區都有。到了二十四歲,比較有能力旅遊了,唐鳳兩年內飛了超過二十個城市,一一去拜訪世界上她早已交流多時的高手朋友,自由學習真的讓她更如海綿般的吸納各家門派的技藝一樣,非常如魚得水。
「母親是我生命中的救星……」
唐鳳的母親李雅卿,曾經擔任《中國時報》記者和專欄組副主任、《商業周刊》副總編輯,法律研究所畢業,在媒體工作上的表現傑出,但為了專心陪伴天才兒子的成長,兩度辭掉工作。
「你最感恩媽媽的是當人生遇到哪些狀況時,她指引你往前走?」我問。
「一個就是我小學二年級被霸凌後決定休學,媽媽支持我,她跟我說:
『休學就休學,沒有關係,老師那邊,媽媽會去處理。』而我就是那個時候開始看兒童心理學的書,想搞清楚同學怎麼會變成那麼愛競爭的樣子。」
唐鳳回憶,「如果不是由我母親擋著學校的話,其實按照強迫入學條例,我其實不能不去學校,所以這個是很重要。」
小二的資優班就學歷程,是唐鳳人生最大的噩夢,當時包括唐鳳的弟弟唐宗浩也三歲了,兩兄弟經常會打電話找媽媽,牽掛的問題愈來愈複雜,於是,唐鳳家開了家庭會議,看是要爸爸還是媽媽辭職回家陪小孩,畢竟這兩位家長都在同一家報社上班。投票結果三比一,媽媽三票,兩個兒子都要她陪,爸爸得到的唯一一票是自己投給自己的,所以大家尊重這個民主結果,由媽媽離開報社,開始在家教育小孩。
走過生命幽谷,唐鳳非常感恩母親:「我小二休學,媽媽決定辭職陪我成長後,她有類似用兼職的方式去《商業周刊》工作,但是後來發現我休學之後,其實需要的不只是有人陪著,而是需要能找到更多的老師來帶領我,這個時候她在《商周》那邊可能也沒有那麼多時間,所以她等於是為了我辭職了兩次!」唐鳳的眼光閃爍著對母親的感謝之意,如果不是媽媽的陪伴與帶領,她不知道自己會陷入怎樣的痛苦深淵。
現在的唐鳳,享譽全球,身心靈都綻放出自由與自信的光芒。回想自己人生最難熬的歲月,就是八歲小二被霸凌的那個階段,尤其,當時原本很疼她的阿嬤和爸爸都要求她對於困境「再撐一下」時,她覺得簡直是世界末日、極度不舒服,所幸母親的即時全力救援,讓孩子展開精采的人生。
「那你第二次覺得要非常感謝媽媽是什麼時候?」我問。
「再來就是在國中二年級,我決定考試交白卷,完全放棄學歷!」
「媽媽馬上就能接受你國中肄業的學歷?」
「沒有,就算是母親,也很難接受這樣的行為。所以當時我就直接去找杜惠平校長,杜校長很開明,他說沒有問題,教育局那邊他來幫我處理,意思就是督學、體制什麼的,我們都不用擔心,他就是幫我擋著這樣。那麼,當杜校長採取了這個態度之後,我母親也就OK了,這也很重要。」
唐鳳生命中的貴人救星,真的都扮演了極為關鍵的角色。
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一元一次方程式練習 在 知史 Facebook 的最佳貼文
唐代學生怎樣學數學? | 生活知史
唐代確立了中國古代數學教育的典範,不僅沿襲了北朝和隋代開啟的「算學」制度,也設立了「算學博士」的官銜。要令廣大學子能夠學習數學,少不了良師和教科書。顯慶元年(656年)於國子監內設算學館,由算學博士指導學生學習數學;同時唐高宗指派數學大師李淳風負責編撰和註釋十部漢代以來的算學著作,最終編訂了《算經十書》。
《算經十書》包括了《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算經》等十部著作。
這十部算書,以《周髀算經》為最早,估計在西漢已經成書。當中主要記載了西漢以前對天文計算的研究。而《九章算術》則是十部算書中最重要的一部,它對古代數學的各個方面全面完整地進行敘述,而且還有豐富的練習題可以讓學生操練。
而《海島算經》則是三國時期數學大師劉徽所作。書名是因著第一題「今有望海島」(數學文字題!),取名為《海島算經》,書中記載了不少地圖測量的問題,是古代人繪製地圖的算數基礎。
其他著作中,有不少包含交易計算、稅收統計,算術研究等內容,可謂包含了唐以前的古代世界對數學的理解。
《算經十書》更成為唐代和之後各朝代的數學教科書,對唐朝以後數學的發展產生了巨大的影響,特別是為宋元時期數學的高度發展奠定基礎。
而《新唐書》和《唐六典》中,更記載了唐代學生如何學習並說明學習每書的時間。當時算學學生分為兩類,一類以處理政務中的數學為主,他們需要用七年時間學習八本算書,當中還列明《九章算術》和《海島算經》應用三年學習,而《周髀算經》和《五經算術》一年即可。而另一類學生主要就是以天文曆法導向,他們要用七年時間主攻《綴術》和《緝古算經》,這兩本書都以艱深複雜聞名,當中《緝古算經》中還出現了三次方程式。
不過唐代學數學始終是比較冷門的學科。《新唐書》記載,算學每年招收約三十名學生,由兩名算學博士和一名算學助教負責教導。在七年的學習期間中每年有年末都會舉行歲考。只要有三次沒有通過考試或在算學館中待了九年的學生將被逐出算學館。
最後,唐代是怎樣在科舉考數學的呢?方法也是相當有趣,第一部分就是常規的數學考試,考官模擬一些試題,要求學生用書中的方法作答。而另一部分則是帖讀,用來測試考生是否熟讀教科書。通常會從《數術記遺》或《三等數》中取出一行,然後遮住其中三個字,要學生說出是哪三個字(填空題!)。這樣就是為了考驗學生是否真的有用心讀過原著(背書!)。
#知史 #生活知史
#中國歷史 #中国文化 #古代 #古代文化
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この映像授業では「【高校 数学Ⅱ】 微分13 極値とグラフ」が約19分で学べます。問題を解くポイントは「f'(x)=0のとき、f(x)は極値をとる」です。映像授業は【ポイント】⇒【例題】⇒【練習】⇒【まとめ】の順に見てください。
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・数学Ⅱ 極限と微分関数
https://goo.gl/iShz4L
・数学Ⅱ 微分法
https://goo.gl/iqGbx0
・数学Ⅱ 積分法
https://goo.gl/HhWVSg
■「数学B」でわからないことがある人はこちら!
・数学B 等差数列(一般項と和)
https://goo.gl/gtXAGw
・数学B 等比数列(一般項と和)
https://goo.gl/lS60F8
・数学B 等差・等比数列の応用
https://goo.gl/YQm99S
・数学B 数列・Σの計算
https://goo.gl/LxRn4p
・数学B 階差数列
https://goo.gl/k13tYA
・数学B 特殊な数列の和
https://goo.gl/DQfdcd
・数学B 漸化式と数学的帰納法
https://goo.gl/Uvs8rv
・数学B ベクトルの定義・成分
https://goo.gl/3OHnXF
・数学B ベクトルの内積・垂直条件
https://goo.gl/wR64EL
・数学B 分点公式と直線のベクトル方程式
https://goo.gl/wa4GJ8
・数学B 空間ベクトル
https://goo.gl/7oLJos
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この映像授業では「【高校 数学Ⅱ】 微分12 増減表の作り方」が約18分で学べます。
問題を解くポイントは「f(x)が増加する範囲はf'(x)≧0、f(x)が減少する範囲はf'(x)≦0」です。
映像授業は【ポイント】⇒【例題】⇒【練習】⇒【まとめ】の順に見てください。
この授業以外でもわからない単元があれば、下記のURLをクリックしてください。
各単元の映像授業をまとまって視聴することができます。
■「数学Ⅱ」でわからないことがある人はこちら!
・数学Ⅱ 展開・因数分解と2項定理
https://goo.gl/TkUpx6
・数学Ⅱ 分数式の計算・求値問題
https://goo.gl/1WQ3Cn
・数学Ⅱ 整式の割り算・剰余の定理
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・数学Ⅱ 方程式と恒等式の証明問題
https://goo.gl/lE00Lh
・数学Ⅱ 複素数
https://goo.gl/u5Q9Bc
・数学Ⅱ 2次方程式の解の判別・解と係数の関係
https://goo.gl/XLqXE8
・数学Ⅱ 高次方程式
https://goo.gl/CjeKXz
・数学Ⅱ 直線上の点・平面上の点
https://goo.gl/PHjKlW
・数学Ⅱ 直線・2直線の平行垂直
https://goo.gl/NNp5b2
・数学Ⅱ 円と直線・2つの円の関係
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・数学Ⅱ 軌跡と領域
https://goo.gl/wZgkYf
・数学Ⅱ 三角比と三角関数
https://goo.gl/HTDn4p
・数学Ⅱ sinθ・cosθの関係
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・数学Ⅱ sinθ・cosθ・tanθの方程式と一般角
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・数学Ⅱ 三角関数のグラフと加法定理
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・数学Ⅱ 三角関数の合成
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・数学Ⅱ 指数関数
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・数学Ⅱ 対数関数
https://goo.gl/VUeIAO
・数学Ⅱ 極限と微分関数
https://goo.gl/iShz4L
・数学Ⅱ 微分法
https://goo.gl/iqGbx0
・数学Ⅱ 積分法
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■「数学B」でわからないことがある人はこちら!
・数学B 等差数列(一般項と和)
https://goo.gl/gtXAGw
・数学B 等比数列(一般項と和)
https://goo.gl/lS60F8
・数学B 等差・等比数列の応用
https://goo.gl/YQm99S
・数学B 数列・Σの計算
https://goo.gl/LxRn4p
・数学B 階差数列
https://goo.gl/k13tYA
・数学B 特殊な数列の和
https://goo.gl/DQfdcd
・数学B 漸化式と数学的帰納法
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・数学B ベクトルの定義・成分
https://goo.gl/3OHnXF
・数学B ベクトルの内積・垂直条件
https://goo.gl/wR64EL
・数学B 分点公式と直線のベクトル方程式
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・数学B 空間ベクトル
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