【 □□好美 】
如果可以自行填空的話,你會填上什麼字詞?
前幾天上色鉛筆課時,我提到向日葵的花心似乎跟數學有關。
「費氏數列。」C是數學老師,馬上精準地回應,但我和其他人一頭霧水。
她接著說:「1,1,2,3,5,8,13,21……前兩個數字相加就是後面的數字,大自然有很多植物的生長方式與費氏數列有關,例如螺、鳳梨、松果,形成一種黃金比例。」
雖然我對數字不在行,但腦中浮現了複雜但有秩序性的畫面。
「數學很美。」C的眼神閃閃發亮。
我第一次聽到有人這樣形容數學。
身邊的朋友,幾乎都痛恨數學。老師在黑板上寫的數字、公式和符號,像是一串串解不開的密碼,三角函數和開根號更是壓垮駱駝的最後一根稻草。上高中後我的數學成績就沒有及格過了,數學是青春歲月裡的陰影,哪裡會美呢?
但C的口吻和表情讓我有一點動搖了。
我上網搜尋了有關費氏數列的影片,赫然發現,自然界的數學不僅是美,而且有趣且神祕。
想著C說話時的光采,思索著,真正讓自己雀躍的,是當下的「發現」吧。
發現自己所不知道的、發現討厭原來是因為不了解、發現沒興趣是因為沒找到動機、發現自己太早畫地自限、發現還有其他人可以幫助自己發現更多的發現。
這樣的發現,也如費氏數列般遞增。
*費氏數列影片連結: https://www.youtube.com/watch?v=JPFYhyFnxVw
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有如此深度對話的色鉛筆課是由高師大附中老師預約的,她們分別教授不同的科目,有理化、國文、地理等,在談話中可以感受到每個人對專業科目皆萌生有趣、美麗、好玩的讚賞,她們閃閃發亮地將美好的發現傳遞給學子們。關於教育,我們好需要這樣的光亮。
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工作室最近會再開一波色鉛筆課,是可以慢慢畫的媒材,在平靜中堆疊色彩,願意的話,也可以對話,一起發現新的發現。
◆8/22《水溶性色鉛筆系列課程—花卉篇》/一期3堂
*https://reurl.cc/R4ZvK6
★8~10月的畫畫課: https://www.facebook.com/222768341407699/posts/1224926354525221/
三角函數公式邊長 在 數學老師張旭 Facebook 的最佳貼文
【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
「高中微積分和大學微積分有什麼差別?」
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
1⃣
首先,絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結:https://reurl.cc/Kknmln
2⃣
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片:https://reurl.cc/1xadXW
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
3⃣
高中教過許多關於基本函數的公式
對了,忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
對於這些基本函數的公式
到了大學,其實很多都用不到
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢?
我這邊簡單條列幾個
例如:
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1)).(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
4⃣
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
首先,高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
5⃣
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數:指對數函數
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
講到這邊,不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片:https://reurl.cc/g7jORL
6⃣
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
這邊列一下定義內容:
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
噁心吧?
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢?
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎?
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍?
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習,累積漂亮的 GPA
當然不只學業要顧
如果行有餘力,也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力,在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
嗯... 我又離題了
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片:https://reurl.cc/oLonv5
///
好啦,講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完!」
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
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三角函數公式邊長 在 尚瑞君之愛‧傾聽‧解讀心 Facebook 的精選貼文
青春期孩子的吶喊:「我們為什麼要學數學?」
數學是科學之母。但只要會加減乘除就可以運用數字來算術,如果以後不想從事科學的研究,我們為什麼還要學數學?
讀國二的長子在算數學時遇上瓶頸,哀嘆的喊:「這些數學以後又用不上,我們到底為甚麼要學?」我把題目拿過來看,用紙做出圖形,跟他說:「這個三角形由角A往下折碰到原本三角形的底線,是不是形成了一個全等的三角形?」他說:「對!」我說:「那這兩個三角形全等,這兩個對應角就一定相等,對不對?」他說:「對!」我說:「那題目給你這個角是九十度,這三個角又在一直線上,那這兩個角是幾度?」他說:「四十五度。」我說:「很棒!題目又跟你說這兩個三角形的底邊兩條線平行,那你可以求出題目問的角A了嗎?」他說:「媽媽,我會了!」面對複雜的問題,孩子會覺得煩躁很正常,但把問題拆解成不同的步驟來看,就會變得容易了解。
那題解完後長子自己又算了幾題,突然又在哀嘆:「媽媽,我不要畫圖,我們為什麼要學數學?」我把題目拿來看,畫好圖跟他解釋一下,他馬上會做了。
為什麼我們要學幾何圖形?要學三角函數?要學排列組合來虐待自己?這些好像在生活中用不到的數學,為什麼要在狂暴的青春時期來添亂,可以不要學嗎?
學數學不僅是要學會數學,而是要學習在解數學題時的思考過程和態度。透過對數學的思考與解題,我們可以學到這些能力:
一、冷靜的分析問題
很多數學學不好的人,是不夠冷靜。看到一堆數字與符號就覺得頭昏腦脹,不想面對。冷靜面對人生去分析問題,卻是我們必須要有的能力,人生的難題難道會比解數學容易嗎?
二、驗證國文理解與閱讀能力
不會解數學題目,很多原因出現在看不懂題目,這不是數學不好,而是國文閱讀與理解能力不夠,還需要透過大量的閱讀與思考來做訓練。鼓勵孩子廣泛閱讀,深入思考,以後才不會只能過著自己不一定喜歡的從眾生活。
三、強化推理與邏輯能力
數學常常要透過推理與運算,答案都在題目裡。只要冷靜下來思考題目,有了正確的推理與小心的計算,都可以解出。
四、增加耐心與耐性
解數學絕對需要耐心與耐性,坐不住、靜不下來,是不能學好數學的。面對漫長的人生路,在孩子的性格行李中,能不讓他帶上耐性與耐心嗎?
五、培養解決問題的能力
當數學解不出來的時候,畫個圖,很快就可以把抽象的題目變成具象,就比較好解題。這不但可以培養解決問題的能力,也會讓孩子知道,一個問題往往有很多種解法,學會去分析與拆解問題,孩子才會有活用知識的實力。
六、建立勇於接受挑戰的信心
看到一堆數字與符號,往往讓人卻步,但面對問題時,逃避,並不是解決的方法。多解數學題目,就可以建立更多勇於接受挑戰的信心。所有的成功經驗,都是在挫敗後依然不放棄,修正方向與方法再出發,總是會突破問題,找出解法。
七、達到理性思考的訓練
孩子在感性的愛中成長,透過對數學的學習與運算,慢慢可以建構用理性的角度去思考與判斷,學會拆解問題,運用相關的公式和定律,這些步驟會讓孩子的理性思維慢慢建構。
八、靈活運用所學的知識
解數學題要有一定的語文閱讀理解力,還要搭配把抽象文字化成具象圖形的繪圖能力,加上要有耐心與耐性,正是靈活運用所學知識集大成之科目。
青春期的孩子,是個跳躍在故意與失控中的精靈,他們很想證明自己在長大,卻往往又賴著不想長大,雖然長大可以爭取更多的自由,但卻也要承擔更多的責任,所以他們很容易生氣與失控。讓青春期的孩子學數學,就是要讓他們耐著性子去分析與了解題目,然後運用題目的有限提示下,去找出各種可能的解法。經由這樣循序漸進的訓練,孩子的理性思考能力,才能逐步成熟與完整,更重要的是,培養出日後面對人生難題解題的耐性與耐心。
學數學,不僅是為了會算數學這麼簡單,其背後的收穫與能力養成,才是真正的目的與效果。多鼓勵孩子解數學題,不但磨練耐心與耐性,更可以讓他們靈活地運用所學的知識,這是現在強調的素養教育。
沒有一個孩子不磨人,要收服青春期的孩子只有靠父母的愛與耐心,包容與體諒。在他們需要幫忙時,伸出援手;在他們懶散怠惰時,拉他們一把;在他們有良好表現時,多鼓勵與讚賞;在他們傷心氣餒或挫敗時,抱抱他們。青春期的孩子,依然是那個充滿希望、充滿陽光的孩子,慢慢的會發出屬於他自己的光彩。
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各位版大好!!
老師今天出了一題數學給我算
一夾角為Θ之直角三角形,斜邊邊長為0.5,對邊邊長為0.15,要求鄰邊邊長x為多少??
我目前只想到用餘弦定理的公式來求第三邊邊長!!
0.15^2 = 0.5^2 + x^2 - 2(0.5)(x)cosΘ
但是現在連Θ是多少也不清楚?! 這樣如何算出來呢??
也許有人會覺得這很簡單= ="
但請大家不吝幫助我一下QQ 謝謝~~~
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