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使用 C 語言的實用 DSP: FFT ( 快速傅立葉轉換 )，濾波器設計，卷積(Convolution)，IIR，FIR，Hamming Window，線性系統，切比雪夫濾波器( Chebyshev filters )等主題
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人生中九月常是個新契機萌芽的時分，12年前的九月，跑去上馬任重老師的課程，目的很單純想要有超過G4以上的高音，大約三、四週這個夢想就實現了，來的很快。
不過呢，雖然很快有了更高、更廣的音域，但整體聲音的表現能力卻是進步緩慢的。到了現在，有更好的聽覺感官的能力，也更能專注在聽上。回首這12年，這聲音能力的開發，還真是慢呀！
像是音感這件事吧！有個說法小時候沒有去練習，長大了很難建立音感，彈什麼音就叫的出什麼音名。這方面，我女兒在七、八歲時，有上美育的音樂課程特別有練。她跟我說，有時我放些鋼琴曲的輕音樂，對她而言反而無助於入眠、放鬆，因為腦中會一直跳出每個音的音名。
而我呢？雖然教課教的多，彈很多、發很多特定的音高，但在鋼琴上彈出一個音，問我是什麼音高、音名，我是辨識不出來的，曾經也有特意練過，但就是練不出什麼名堂。
但邏輯能力就比較傑出，小時候跟二哥常聊科學，二哥的數理能力極好，所以很多推論、邏輯的概念很早就有人在引導，每個月會有牛頓月刊，哥哥看，我也看，討論些其中的內容。
後來五專加入辯論社參與比賽，卅年前的辯論討論的是政策命題，“死刑癈除”、“核電續建”、“單一選區”、“營業稅改制國稅”，對專業知識的儲備與推論的嚴謹要求高。
所以，在12年前學了發聲方法，也練出了更寬的音域後，倒沒有發展太多歌唱上的能力、技巧，反而去研究“聲音”本身，慢慢因為需要而加入了許多想法，“泛音結構”、“聲音的傅立葉轉換”、“人耳對各頻率聲音的敏感度”、“口腔內部空間姿態對泛音強弱化的影響”等等。反而，去研究這件事情感覺更加的如魚得水。
而透過這個特殊的背景，在人聲訓練也走出了截然不同、獨樹一格的路徑，專治發聲能力受到跼限的症狀，反而真的解決了根本性的問題。
這跨界跨的特殊也有趣！
一個的能力養成往往也會成為其它能力的跼限，太追求十項全能，最終會是一事無成的多。而許多看來多才多藝的，潛在的才能還有許多，單一才能也未臻巔峰。
覺得很幸運，在這些跼限中，混合出個特別的能力。
我應該算是科學立論基礎最嚴謹深厚的發聲老師吧！
呵呵！
～～～～～
※ 一對一視訊個人課，請私訊
Line ID: joseyang9287
※ 健聲房公開班，台北(9/25、11/20)，高雄(8/21、12/11):
https://www.cln.com.tw/school_openclass_info_165_.html
最近傅立葉轉換在深度學習的研究是越來越火了，就連pytorch1.9也為了傅立葉轉換推出了複數張量，這一篇是討論深度學習偏好擬合低頻數據所造成的隱式偏差
https://mp.weixin.qq.com/s/nJkZuosd8qdwxcp-jSoAZg
【摘要】
本影片從 Fourier 級數開始講起，內容包含 Fourier 積分，最後以 Fourier 轉換作結
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EP01：向量微積分重點整理 (https://youtu.be/x9Z23o_Z5sQ)
EP02：泰勒展開式說明與應用 (https://youtu.be/SByv7fMtMTY)
EP03：級數審斂法統整與習題 (https://youtu.be/qXCdZF8CV7o)
EP04：積分技巧統整 (https://youtu.be/Ioxd9eh6ogE)
EP05：極座標統整與應用 (https://youtu.be/ksy3siNDzH0)
EP06：極限嚴格定義題型 + 讀書方法分享 (https://youtu.be/9ItI09GTtNQ)
EP07：常見的一階微分方程題型及解法 (https://youtu.be/I8CJhA6COjk)
EP08：重製中
EP09：反函數定理與隱函數定理 (https://youtu.be/9CPpcIVLz7c)
EP10：多變數求極值與 Lagrange 乘子法 (https://youtu.be/XsOmQOTzdSA)
EP11：Laplace 轉換 (https://youtu.be/GZRWgcY5i6Y)
EP12：Fourier 級數與 Fourier 轉換 👈 目前在這裡
EP13：換變數定理與 Jacobian 行列式 (https://youtu.be/7z4ad1I0b7o)
EP14：Cayley-Hamilton 定理 & 極小多項式 (https://youtu.be/9c-lCLV4F0M)
EP15：極限、微分和積分次序交換的條件 (https://youtu.be/QRkGLK7Iw4c)
EP16：機率密度函數 (上) (https://youtu.be/PR1NSAOP_Z0)
EP17：機率密度函數 (下) (https://youtu.be/tDQ3o8uQ_Ks)
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#傅氏級數 #傅氏積分 #傅氏轉換
傅立葉級數：可以將一個連續的信號表示成一堆波的合成(sin與cos的合成) http://i.imgur.com/upQ5Hil.png 而傅立葉轉換在音樂上的應用是可以將一段音檔 ... ... <看更多>
引述《shrinkage (Shrinkage)》之銘言： : 昨天看了Youtube科普頻道: 用動畫模型解釋傅立葉轉換的構想: 傅立葉轉換簡單說: 就是把混雜混合過的一團 ... ... <看更多>
傅立葉轉換 在 Re: [問題] 什麼是快速傅立葉轉換- 看板C_and_CPP 的推薦與評價
看樣子你應該還是一個高中生吧！
這個東西要到大學才會教
要講快速傅立葉，必須先講一般的傅立葉轉換，
人是活在時間的世界，所以一般我們在看事情的現象，
多是在時間域(Time Domain)來觀察，
然而有許多現象在時間域是觀察不到的，
有賴於數學的進步，數學家傅立葉推導出一個公式，
將數學式子經過一系列的運算可以轉成以頻率的角度來看這個數學式
當時這個理論並沒有很多的用處
但隨著科技的進步，許多應用的需求發現套用傅立葉的數學式
可以讓他們看到許多以前未曾觀察到的現象，
因而可以做到更多的分析及改良。
其應用最廣泛的就是通訊系統了。
廣播系統有分兩種，一種是AM，一種是FM。
AM(Amplification Modulation)就是振幅調變，
FM(Frequency Modulation)則是頻率調變。
早期的收音機廣播僅有AM系統，
它可以將訊號傳送到很遠的地方，但因為是改變訊號振幅的大小，
因此傳送過程中，若遇到雜訊的干擾，很容易收訊不清楚。
後來有人提出FM的方法，改變訊號的頻率代替改變振幅的方法，
如此訊號就不會因為雜訊的關係變得不清楚了
但相對的，訊號比較沒有辦法像AM傳得那麼遠。
其中這裡面要將訊號轉換到頻率的角度來看訊號的方法，
就叫做傅立葉轉換。
也就是說從頻率的角度來觀察並且改良訊號。
詳細的部份有待你上大學念到工程科系的數學課時，
會有更詳盡的解釋。
它的延伸還有餘弦轉換、小波轉換。分別應用在不同的領域，
如影像處理、聲音處理等信號處理上，
也可用在趨勢分析上、統計上等很多的應用，非常多的用途。
由於電腦的進步，許多數學式可以被程式化，
但由於傅立葉轉換裡面是套用在連續世界的計算，
裡面有積分運算，若你在高中有學過積分以及極限，
那應該瞭解積分是將區段分到無限小的單位再進行累積，
但由於電腦的計算能力限制以及儲存空間之問題，
並無法真的將連續世界的東西分解到無限小，
因此又有人將傅立葉的運算式進行推導及分析，
使其能輔合連續傅立葉轉換的特性，
於是產生了離散傅立葉轉換公式(Discrete Fourier Transform, DFT)，
由於離散世界與連續世界有許多的不同，
因此現象也不一樣，
先別問我什麼是離散世界，什麼是連續世界，
簡單說一個就是人的世界，一個是經過取樣的世界，也就是不連續的，
有點抽象，不好意思。
後來DFT的計算對於一般低階電腦來講實在是太重了，
所以有人提出改良而演進，使其方便於程式撰寫的特性，
因此有快速傅立葉轉換演算法的出現。
傅立葉把人的世界現象用數學模組表示出來，
但這裡面不只是那樣，
有待以後你上大學後詳細的學習。
以上所說的只是簡單的說明，
裡面不提到數學式，因為網路上有很多資料了，
而且以一個高中生的能力，能看懂的應該沒幾個。
所以我也不多談。不過有一點值得注意的是：
傅立葉數學有分兩種，
一種叫做傅立葉級數，另一種才是你問的傅立葉轉換，
它的延伸產生了特例情況，也就是餘弦轉換、正弦轉換，
還有控制系統裡面常用的Z轉換(z-Transofrm)，
甚至是到研究所才會提的小波轉換，
比較簡單一點的還有拉式轉換(Laplasian Transform)，
若你有興趣的話，可以在電機領域的課程「信號與系統」、「通訊系統」，
或是電機與機械都有的「控制系統」
數學系也有開專課，
或是念工程類大多會修的「工程數學」裡看到相關的介紹。
這一條路不容易學，不過以你是一個高中生的角度來看，
很高興你對這東西有興趣。加油！
※ 引述《suhorng (飛揚)》之銘言：
: 嗯我知道這個好像大學才會教...
: 然後書上我也是完全看不懂....
: 只是最近可能會用到
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: 1.快速傅立葉轉換到底是什麼東西？
: 2.如果要計算多項式乘法 f(x) * g(x)，要怎麼應用？
: 3.轉換前跟轉換後到底有哪些差別？
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: 問的很不專業 請見諒
: 我整個不懂～希望誰能大概介紹一下？
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.113.49.5
※ 編輯: concealment 來自: 59.113.49.5 (09/14 01:48)
※ 編輯: concealment 來自: 59.113.49.5 (09/14 02:00)
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