【處處極限不存在的函數】
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我記得自己剛升大一在學習微積分的時候,教授問了一個問題,「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」,那時候我想了很久,總是想不出來到底要怎麼設計,才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是,如果要在任意點的極限都不存在的話,那可能要先解決一個問題,那就是在設計了一個在某一點,例如說 a 點,極限不存在的函數以後,要如何改造這個函數,才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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(接下來的內容,建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來)
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舉例來說,如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數(例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0;而當 x 大於 0 時其函數值均為 1),那麼要如何改造或調整這個函數,才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢?針對這個例子而言,或許可以這樣做:先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5,那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在,但因為 1 並非 0「旁邊」的數字,所以顯然還要再調整,於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5,那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在,但同樣地,因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字,所以我們繼續調整這個函數,下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5,依此類推,再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5,持續這樣的步驟,最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在,但是原本在調整時的兩點極限不存在,卻因無限持續這樣的步驟,而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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之所以會產生這樣的狀況,是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此,那如果不要持續上面的步驟無限次呢?如果僅持續有限次的步驟,那麼在該次步驟的下一次,一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些,這個推論的結果就是,如果僅持續有限次上述的步驟,那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果,無論是有限次或無限次操作上述的步驟,最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪,因為這意味著從一個點的極限不存在出發,去逐步改造出一個處處極限不存在的函數,方向很可能是錯誤的。
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那麼,該怎麼辦呢?
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面對這個問題,當時的我最終並沒有自己解出來,而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來,並告訴我他的想法。
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他告訴我,既然從一個點的極限不存在開始是行不通的,那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧!例如一開始的函數乾脆設定成這樣:當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時,將其函數值設定為 0,而其他地方則設定為 1。例如,當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時,其函數值就是 0,而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時,其函數值就是 1。如此一來,我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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以此為起點,比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點,似乎好像有了長遠的進步,但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點,那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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為了解決這個問題,我的朋友告訴我,下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話,大概是這樣操作:例如,在 0 和 1 之間,函數值原本都是 0,但接下來把這個區間切割成 10 等分,然後第 1、3、5、7、9 個區間(也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間),我們把函數值調整成 1,其餘的不動,那麼我們就可以得到一個,除了在所有整數點極限都不存在的函數以外,這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間,則在等分割成 10 個區間以後,將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話,那麼在每一個整數區間(就是 n 到 n + 1 的區間)裡面,其十分位數的位置其極限都不存在。
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接下來,再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間,然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0,而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間,但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1,那麼,這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外,但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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再接下來,繼續進行上面的動作,不斷地十等分分割之前產生的區間,並且適當地調整其函數值,使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ,或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態,持續無限次,最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版,這邊我們先講簡單版,以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言,固定任何一點 a,其左極限只有兩種可能,0 或 1,但因為這個函數被分割地非常地密,而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動,所以這個函數在 a 點的左極限不存在,因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後,因為 a 這個點是任意取的,所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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這個答案真的很猛,因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因,也因為我們還沒學到極限的嚴格定義,所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在,但現在回想起來,那位奧數朋友還是很猛!因為他就好像那種天生的小說家一樣,信手拈來就寫出了一本傑出的小說,而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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講到這裡,今天的故事似乎已經講完,但其實還沒,因為這樣聰明的人,並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題,其實在 19 世紀時,就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家,他所創造出來的一種函數(後來稱為 Dirichlet 函數),就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下:當 x 為有理數時,其函數值是 1;當 x 不為有理數時,其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在,也是我教授當時給同學們預設的答案。
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在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了,但我有拍一部影片來說明,如果你想繼續看下去,可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片,我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在,但其實當初 Dirichlet 所面對的問題,並非「是否存在處處極限不存在的函數」,而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後,Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數,而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且,除了無法圖像化以外,Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位,因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期,那麼就會存在最小週期,但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數,因為任意有理數都是它的週期。
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關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊,或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章,不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的,所以如果真的要寫的話,那可能就還要再等一陣子了。
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最後,跟大家介紹一下我上面所提到的影片,那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材,近期我會開始陸續上傳到這裡,但不是每一部影片都會寫文章來搭配,所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看,而且不漏掉系列裡每一部影片的話,可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道;如果你想一次看完我全系列的影片的話,可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道,上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用,如果你想要取得該電子檔的話,請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章,並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論,然後私訊我的臉書粉專,我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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【避不開的一本書,一些事】
Cathy Park Hong《Minor Feelings》
也不是說有意避開,就是知道了很久,沒拿起這書來讀。本書在2020年初出版,作者是一位美國韓裔著名詩人,這是她的第一本非詩集/非小說作品,書的副題是"A reckoning on race and the Asian condition":「種族和亞裔處境的反思」,隨著全球疫情後出現的反華情緒,和特別在美國發生襲擊亞裔人士個案數目大幅上升,令亞裔美國人身分認同成為熱門話題,而這書在今年初推出了 paperback,過去只讀沉悶的政經書籍的我,本來近期集中睇小說,但 Hong 的這書,再也避不開。
本書名列去年多個年終書評十大名單中,只不過是短短二百多頁、七篇文章,有什麼特別?作者以自己第二代韓裔美國人的身分和個人經歷,包括自己和一些認識或不認識的人的故事,探討了種族、結構性種族歧視,和在白人社會主導下成長的影響等題目,也因為她是詩人和藝術家,特別討論了小時學習英文為第二語言,從而讓她對這語言有更敏感了體會和應用,和一些在藝術社群中亞裔面對的問題。
Hong 成長家庭環境中上,住在白人居住地區,甚至家有私家泳池,但不忘提醒讀者小時候住在洛杉磯Koreatown的「基層」地區,不過在1992年當地發生的黑人與韓裔種族衝突前,父親生意有成,已經搬走。與我之前介紹美國越南裔詩人/作家 Ocean Vuong 不同的,是後者以難民身分移居美國,在單親家庭中長大,一直貧苦地工讀,Hong 讀的是私立大學,但二人對英文為第二語言的體會,在他們作品中,可見相似的地方。
尋找一起走過的經歷
兩人相似的經歷,還有是一個刻苦、堅強但對子女十分嚴厲的母親,就像我們在流行文化中阿信再加「虎媽」的印象。Hong 提及,小時到白人孩子朋友家中玩,覺得很和平和安寧,父母慈祥,小狗可愛,但回到自己家中,父母總是吵吵鬧鬧,沒有寵物,但老人家總有些古古怪怪的習慣(像祖母親用咖啡罐裝自己的尿去後花園種蔥),我想如果拍成電視處境喜劇,應該嚇壞白人,但反過來,只會令他們對小數族裔 stereotyping 的印象定型,更根深柢固。
Hong 的文章中,帶出很多重要的問題,例如,她作為藝術家,作品是否被困在白人社會對亞裔的印象的框框內,要遷就他們怎看我們,才能有機會出版?甚至她透過於1982年在紐約姦殺被害的美國韓裔女詩人 Theresa Hak Kyung Cha 的事跡,質問為何媒體甚至她的藝術界同僚和朋友,分別都淡化報導或低調處理,難道亞裔面對的暴力,白人社會都不想提,不想知道太多,亞裔在他們眼中,最好是隱形?這狀況,也與黑人面對的問題和歧視,有所異同。
Hong 所提出的問題,未必有答案,卻能另我們反思自己的經驗。無論在那裡生活,或曾經在那裡生活,在「自己的國家」抑或「別人的國家」,是多數是少數,不要說沒有歧視,要是這樣說,肯定只是視而不見而已,包括在中國和香港。我也想,我曾經在美國留學和打工十多年,回到香港,種族上少數分子變回多數,但身分認同又在種族層面上增加變數,回歸後香港身分在國家全面管治下又不一樣了。但至少回想自己十多年在美國的經驗,究竟當時是怎樣的?
誰是「亞裔美國人」?
近年使用的「亞裔美國人」(Asian American)一詞,原來是上世紀六十年代,在美國反越戰和民權運動示威浪潮最火紅的加州柏克萊(Berkeley)所創作出來的,今天最「建制」的形容詞,當年卻已是最「前衛」的。即使在八十年代我在美國讀大學時,對亞洲人的形容詞,很多人仍然以 "Oriental"(東方人)這個顯然極為殖民主義的詞語稱之。至近年,如果要向一些美國機構有需要填表,在種族一欄往往會以「亞裔美國人及太平洋島民」(Asian American and Pacific Islander)統稱,我都會不禁想,亞裔都夠包羅萬有了,怎麼把太平洋島民都打成一片?
反觀英國,近年在這些回應表格分類,都變得比較仔細了,會分為「中國人」、「華裔英國人」或甚至「香港人」,當然也有些「混血」、「其他」或「不想或選擇不回應」給選擇,始終,說是種族但其實也是身分認同的選擇問題。然而,是否美國人就是比較懶惰,還是白人主導思想下分不開,不想分?他們分不開華人、日本人、韓國人、越南人等等,這都罷了,就是兩個東亞裔人的不同面孔,都總是分不開,我們分辨白人面孔卻沒這問題,是否我們看荷里活電影太多,他們看亞洲片太少?
自去年起,亞裔在美國因種族歧視遭受襲擊個案大增,亞裔美國人團體因而加強聯繫,作出回應,我曾經聽過當中他們舉辦的數個網上論壇,華日韓越還有印度、菲律賓等主要社群的參與都有,他們都會指出,一般美國人社會和白人主導的理解,甚至在不同亞裔之間,其實都未必完全了解「亞裔美國人」所包含的複雜性,不同的種族、文化、背景、語言,分隔了他們的互相了解,還有不同國家之間的政治和歷史的紛爭、新仇舊恨,在美出生的日韓中/港/台人後代,可能感受不深,但如果是新移民或者留學生,不幸地可能根本互相敵視,另一方面,新移民與否、教育程度、社會階層不同,對種族歧視的體會也不一樣。
我比較深刻印象的,是有一位講者曾經提出過,在媒體甚至官方的描述,不宜再簡化地以"China"或"Chinese"形容中國政府或官方的事宜或行為,中國餐說是"Chinese food"沒問題,但如果是政府的行為,就應該在內容和標題說明是"Chinese government",的確,任何政府也不能代表所有人,批評一個政府不應把不滿投射都該國的人民,這個建議,可圈可點!
黑暗的歷史
另外,他們在討論中提出的典型應對,必定包括在美國教育中加強亞裔在美過去面對的歧視歷史,由美國內戰結束後,失去了黑人勞動力後,美國於1860年代輸入數而萬計的中國勞工以參與興建鐵路,可說是美國鐵路尤其是開發大西部的,當初都是以中國人的血汗,甚至用上平均每公里幾條中國人命搭建出來的,但美國政府「打完齋唔要和尚」,之後卻因恐怕大量亞洲移民,通過了「排斥華人法例」(Chinese Exclusion Act 1882),中國人甚至其他亞洲人,甚至包括前美國殖民地的菲律賓人,都難以移民美國,直到1960年代才真正開始改變。
今天亞裔美國人提出應該放進中小學歷史教材的,當然還有二次大戰時的日裔美國人的遭遇,他們無辜地被視為間諜,財產土地被充公,失去自由,年輕男丁卻被徵上戰場,保衛美國這「家園」,其他家人就關押在集中營多年,直到戰後才放出來,這段黑暗歷史。至於韓國和越南人,無論是否同意美國當年應否介入他們國家的內戰,阻止共產主義擴張,大概都會同意,美國接收不少來自兩國的難民或移民,多少都為贖罪。
然而,在今天美國的本土政治環境,種族主義反而更為抬頭,在部分州政府出現共和黨人大力打壓黑人投票權利和鼓吹白人至上主義,要提出亞裔美國人歷史觀,把這些美國帝國主義的黑暗歷史,放進教科書,談何容易!反過來說,政權用作政治宣傳教育的話不算,就是過去在華人社會和教材又有多少談論「賣豬仔」和美國反華移民法案?就是我這一代香港人,對這些事的印象,只有「華英雄」和黃飛鴻電影(但這些故事內容卻反而只較多描述中國人自己人打自己人多於受白人的歧視),難道這歷史連中國人自己都不想再提?
種族暴力未停止過
這兩年在美國發生多宗亞裔面臨種族暴力事件,特別在三藩市灣區和紐約市等地,以及在今年三月發生的亞特蘭大按摩院槍擊案中的受害者,回想我接觸這些仇恨罪案(hate crime)的報導,始於1982年的陳果仁案。案發於我入讀美國大學前的幾個月,案件和之後數年關於的審判的報導,在我讀大學時訂閱的星島日報(記住當年未有蘋果甚至world-wide web!),應該一直看到這案件的發展。
陳果仁在中國廣東於1955年出生,六歲被被同來自廣東的養父母從孤兒院收養,帶到美國長大,於1982年二十八歲之齡,在美國底特律一家脫衣舞會所與朋友慶祝八日後將舉行的婚禮時,與在場人士起爭執,後來被兩名白種人追打,以棒球棍擊至腦死亡,四日後正式離世。這是否種族仇恨罪案?有證人表示,聽到兇徒曾經說:「都係因為你班XXXX令我哋無工做」(It's because of you little motherfuckers that we're out of work.),兩名被告當然否認說過。
歷史背景,當年美國因日本經濟起飛,尤其美國汽車業面對日本進口車競爭,節節敗退,三大汽車廠大量裁員,而底特律正是美國汽車業傳統重鎮,失業情況嚴重,雖然陳果仁是華人,相信很可能是被錯誤當作為日本人而被害。然而,州政府的審判,竟然輕判兩名兇徒罰款三千美元,守行為三年了事,華人團體說,等同公告天下,三千大元可以買起一條中國人命。
之後,有華人律師和記者介入,根據侵犯死者公民權利把案件推上聯邦法庭,原本把兇徒當中一人成功入罪判監廿五年,另一人就脫罪,但在兩年後上訴判決,兩人獲無罪釋放。最終,家人僅能以民事訴訟控告兇徒,獲判約一百五十萬美元,還要分期每月幾百元地給被告慢慢還,慢慢玩!因此,今年的亞特蘭大槍擊案,社會爭論是否應該以種族仇恨罪行控告兇徒,但歷史告訴我們,在美國,要如此入罪,十分困難,結果,恐怕又是不了了之。
當然,與當年中國人被當作日本人不同,這兩年如果說有人因疫情而仇視華人,但不少在美國街頭被襲擊的,卻是其他族裔的亞裔人士,可謂諷刺,並且,這也不是因為認錯,不少襲擊者顯然沒打算再理會他們是華人或是其他亞洲人,就是發洩要叫他們「滾回家」,即使他們不少根本是土生土長美國人。可幸的是當年陳果仁案只有美國華人稍為關心,今天可能因為所有其他亞裔都一同受害,亦相信因為社會始終有少許進步,不同族裔的亞裔人士總算更大程度地合作起來。
選擇忘記的歧視?
回望我在美國生活的那些年,究竟有沒有受到種族歧視?要說出具體例子的話,我說不出來,但說沒有遇上,我可以肯定地說,一定有。小的事情地方,面對過的白眼,服務上當我隱形,言語上的欺凌,必定有,但很奇怪,雖然說已經過了廿多年,是真的完全記不起來,還是我潛意識要忘記這些事、那些人?相反,像 Hong 書中形容,美國人對亞裔有些既定形象、行為模式,作為「乖乖」的「模範少數族裔」,我們只要「fit」進這些模式,自然大體上「相安無事」。當時,不自覺下,受害者也成為了種族歧視的幫凶。
我的大學處於中西部非常保守的印第安納州(Indiana),白人絕對佔最多,黑人也少,不過,可能因為屬於理工科目較强的學校,來自分布大量不同國家的留學生算多,我大學第一年時,宿舍同房被分派了一個美國人,他來自本州的中型城市,從未踏足外國,甚至連美國本土可能只去過少數鄰近的州分,我這個香港仔同房,對他可能已算是個衝擊。我們相處不錯,但我相信他也覺得,他潛意識下覺得自己是主,我是客,他是大,我是細,而我都是用最典型的亞裔方式,用學科成績證明自己的實力,得回多些尊重,尤其因為我們主修科目一樣。不過,不自覺下,這也許又已墮進「模範少數族裔」的stereotype 了。反而我有印象的,是他初時常笑我寫中文信給家人朋友(我1993年在入學第二學期才拿到電腦戶口,學識用互聯網和電郵,減少了手寫信),寫的中文字是"chicken scratch",如果以今天標準來說,算是有點歧視成分了,不過,當年,算了。
與 Hong 描述她的大學生活比較(我比她約早十年入大學),我們都是在中西部的保守州分(她在艾奧瓦州 Iowa),不過她讀藝術,我讀的是工程,也許在亞裔的模範形象中,數學、理科能力較佳,讀這些科目的話白人接受,問題較少,只要是繼續在這些方面發展,可謂各取所需,當年就算是畢業後要在當地找工作,拿工作簽證留在美國,入籍,都不困難。後來我碩士畢業後進入大型電腦公司,先後在東西岸,前後兩家公司工作,回想起來,都是走不出這亞裔模範形象。
我在美國的第一份工作,聘請我的是一位台灣人,從一開始,我真的有想過,他是不是因為我是華人而挑選了我?結果我都沒有問過他,當時組中除了我倆沒有其他華人,而我們也從沒有在工作內外講國語。當年我讀的是電腦工程,但第一份工作卻是在電腦公司生產硬碟的製造工程部門寫相關控制機械的程式,老實說,並不十分「夾」,大學學的都不一樣,要重新學過,而硬件製造可說是比較「悶」,結果兩年後在公司轉職到西岸矽谷的前線部門,才擔上較接近軟件顧問和諮詢的工作。矽谷在科技人才上即使當年已經是個大溶爐,我的同事幾乎來自世界各地,說什麼種族歧視?雖然最終大老闆,基本上全是白種人。
後來我在1994年返回香港工作後,無論是朋友討論或是媒體訪問,問及我為何回流,我的答案都會說,在香港可以更快踏上更高的職位,事業發展更好。當然,也許在一刻是那樣,不過,我也會補充說,如果留在矽谷多一會,等及互聯網 dotcom 泡沫吹起,留在美國也許發展更好也說不定。不過,當時在美國大公司所見的,的確是即使科技行業也有這個玻璃天花(glass ceiling),上面的職位望得到,但不會能上到去。我沒有詳細數據,但即使至今,大家印象中仍會覺得,除非自己創業,在美國大型科技企業的最高層,華人等亞裔的不多,除了印度人。
Minor Feelings
Hong 書中說的 minor feelings,是指當「美國式樂觀主義被置於你的身上,與自己種族實況面對呈現矛盾,導致的認知失調(cognitive dissonance),人家告訴你,一切在改善中,自己卻覺得,都是一樣;人家說,亞裔多成功,自己卻感覺失敗。」相反,當我們覺得,「受夠了」,要對自己誠實一些,即使要令其他人覺得「難相處」,卻會被視為「敵意、忘恩負義、妒忌、令人沮喪、好戰」,就像白人社會覺得我們走出模範樣式,出了軌。
想起來,當年離開美國,的確有點兒這些感受。不過,奇怪的是,今天在香港,如果嘗試把種族部分,自己選擇用一樣你感受到的東西代替,這「認知失調」和「被當作出了軌」的感覺,同樣出現。這,又是什麼?
所以,我說這書避不開,是因為有些事,有些感覺,是避不開的。《Minor Feelings》最成功之處,最另我覺得是所讀最佳的書之一的原因,是因為它出奇地令讀者反思。不只是共鳴,更加是反思。
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📌《遊戲玩法》
☑️‧玩法1 泳圈配對:找出和遊戲卡上相同的企鵝和泳圈圖案,和遊戲卡擺放方式一致,即過關。(遊戲卡難度1)
☑️‧玩法2 泳圈「是」、「不是」:玩家依遊戲卡提供的線索,尋找對應的泳圈,比誰的速度最快。(屬於遊戲卡難度2&3,難度3增加了否定的部分,讓孩子在思緒上更有挑戰,如何有A卻不能有B、C出現呢?有時候答案不只一種選擇,遊戲卡背面有提供解答讓孩子自行核對答案。)
☑️‧玩法3 泳圈在哪裡?:屬於多人互動遊戲,玩家輪流擲骰子,決定要尋找的泳圈特徵(顏色+形狀),玩家將代表自己的企鵝站到泳圈上,比誰的速度最快,獲得最多泳圈的玩家獲勝。
我們家最常進行的其實是玩法3,剛開始可以用兩個骰子,條件不會設置太嚴格,等孩子們都熟悉之後,就能用三顆骰子,更具有挑戰性!或是想讓孩子決定怎麼使用骰子,一下兩個一下三個隨意選擇也行。
企鵝找泳圈這套以遊戲方式設計來說算是簡單,但考驗的是孩子的「觀察力」、「邏輯推演」以及「眼明手快」。由於規則容易理解,因此三歲的孩子玩也沒啥問題,屬於適合親子同樂的桌遊,像我們五歲的哥哥觀察力不錯,有時候還能找得比大人快呢!我覺得他們跟爸爸都玩得相當開心~
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🌲 #3D森林樂園(3D Woods)
📌訓練幾何圖形概念、觀察力與手指精細操作能力、三視角(正視、俯視、側視)的差異、孩子空間解構與建構的能力
❤️3D森林樂園是我私心非常喜愛的一款,除了第一眼看過去那些可愛的房子小鳥積木造型很吸引人之外,最大的因素就在於它能訓練小孩「透過正視、側視和俯視」這三種視角,去「推理與解構」森林樂園裡有哪些好玩的東西,試著重新搭建積木,看看有沒有和原來一模一樣,嘗試過後才發現,原來有時候一個角度看到的或我們想的,並不是完全的原貌,是不是很有趣?
📌桌遊內容物:小鳥積木2個、遊戲積木11個、遊戲卡40張(4種難度)、遊戲說明書1本。
📌遊戲卡有分四種難度,以右下角「樹」的多寡來判斷,一棵樹最簡單,四棵樹最難。這款桌遊的設計為3歲以上,龍鳳現在開始接觸,在媽媽陪伴的引導下,小龍能做到三棵樹、小鳳做兩棵樹的難度都沒問題,翰翰的話則能做四棵樹(這款桌遊其實我更常給翰翰玩喔!不同年紀與能力玩法不同,後面會說明)
📌《遊戲玩法》
☑️‧玩法1 森林的模樣:先利用「積木三視圖」了解積木的各種角度,再依遊戲卡上的三視圖線索,推論搭建需要哪些積木,並搭建完成。(遊戲卡背面有提供解答讓孩子自行核對答案唷!)
☑️‧玩法2 小鳥飛高高:玩家各拿一隻小鳥,並輪流使用積木進行堆疊,堆疊到最高位置,再放上小鳥積木,比一比,誰的小鳥飛得又高又穩。
☑️‧玩法3 我說你排:一位玩家下指令,如:「拿出藍色房子,並在藍色房子左邊種一棵樹……」,另一位負責依指令排出對應圖形,正確即過關。
我們家目前主要都是玩法1四種遊戲卡的玩法在練習三視角與空空建構能力,玩法2與3屬於延伸與互動玩法,三寶他們還沒有這樣玩過唷!
📌《遊戲前的準備工作》
在開始搭建積木前,建議爸媽可以先帶孩子翻開說明書,認識積木的「三視圖:正視、俯視、側視」的區別及意涵,讓他們了解為何同樣的積木,從不同角度看,怎麼看起來有點不一樣了?這是認識空間結構很重要的一環,也是奠定以後數學空間幾何圖形的基礎。
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❤️《#親子共玩經驗談》❤️
👉 3歲的孩子怎麼玩?
對於3~4歲還無法充分理解三視概念的孩子,請翻到遊戲卡背面的答案面,讓他們先看著圖搭建。
📌「依樣畫葫蘆」不是一件毫無意義的行為,對學齡前的孩子來說,這是他們學習的模式,不能說是唯一,但絕對是必須的要領。無論是說話、吃飯、穿衣、穿鞋、堆樂高、畫畫等,都是透過反覆用眼睛看,並試著自己做做看,失敗、再模仿、失敗、再模仿,直到成功為止。
小龍這孩子在視覺輸入到腦中,並能思考轉化為實體的能力相對比翰翰與小鳳都強,個性也比較細心謹慎,因此看圖搭建這部分做得非常好。最讓人開心的,他在這過程中感覺到樂趣,他會笑著說橘色的是蘿蔔,然後我們會對正在蓋的積木講一個故事,創造一個有趣的情境與對話,讓這過程變得有趣。
妹妹的部分我會讓她做大概一到兩棵樹的遊戲卡,因為他是需要先「刷成就感的題目」建立自信心後才能面對挑戰的孩子,不然他會因為太容易接受挫敗而厭學,因此我傾向都先給予她簡單的題目,讓她喜歡玩、願意做、做久熟練了就能挑戰更難的題目。
📌在帶孩子玩這種遊戲卡的桌遊時,建議爸媽可以給孩子「#在限制的範圍內更多的自主性」。什麼意思呢?提供適當的遊戲卡難度,例如一棵樹和兩棵樹,在這些遊戲卡裡面,她可以任意選擇感興趣想嘗試的遊戲卡,也就是說他有完全自主的選擇權,但是在你指定的一疊遊戲卡中進行,這樣可以確保題型難度適中,而他又可以挑他喜歡的來做,兩全其美。
👉5歲的孩子怎麼玩?
這套教具可使用的年齡層很廣,我認為3~7歲都能玩,因為每個孩子的空間感與建構能力不同,爸媽可以思考一下孩子的能力來決定是否合適,年齡不是最主要考慮的因素(其實任何教材與教具都是如此)。
翰翰目前5Y9M,如果直接看著積木答案面太過簡單,所以我讓他看背後的三視圖來做。剛開始嘗試時,小孩主要傾向會依照「正視圖」來堆疊,忽略俯視與側視的細節,因此在一些物品擺放位置就會出現小枇漏(建議看部落格文章圖文對照更能了解我指的細節為何),這些就是訓練要檢查側視與俯視的能力,才有辦法百分百正確建構森林積木。
📌爸媽可以先帶著他們檢查,請他們想一想可能的錯誤,如果真的找不到,爸媽便能指出盲點,協助他們更正自己的積木擺法,並建議他們下次做完提,自己站起來從側邊與上面俯視檢查一次。
📌至於,三歲小孩到底可不可以用三視圖來排呢?
SURE!
我們家就有一個哥哥的跟屁蟲,之前看過哥哥都是用三視圖來做題目,小龍就說他也要翻到題目面來做,不要像之前一樣都看積木答案面了。如此好強又好學,媽媽當然符合孩子的需求,每個孩子都不一樣,媽媽要做的就是提供給孩子需要的養分、教材與環境。
小龍用正面積木答案面可以做到三四棵樹的難度,但如果是要做三視圖這面,我只會先給他一兩棵樹的難度來嘗試。在旁邊引導他學習,帶著他們怎麼去看、去檢查,這些看似平面的圖像意涵為何?三歲的小朋友也能學得很好,用三視圖來搭建正確的積木唷!
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📌老實說在「空間幾何概念」的認識與學習上,我們家是相對薄弱的。上海的學生其實很重視數學幾何概念、空間概念與手動重建的能力,許多有名的好學校,都會考圖形旋轉、鏡面圖片、數出畫面中有幾個三角形正方形、立體結構的積木有幾個、依照圖片或影片搭出一樣的樂高/磁力片/七巧板等考題,這些並不是某一學校的單一題目,而是多數學校的「共通考題」。雖然聽起來很變態,但他們孩子從小在這方面的訓練和課程比台灣的孩子多很多。
🙋有人也許會問:#這跟樂高能學到的空間概念差不多嗎?(我還真的已經被問過了哈哈)
嗯,樂高的確能練習到非常多空間概念、建構與解構、創造力與閱讀說明書的能力等,是非常好的玩具。
但小康軒與樂高不同之處在於提供「三視角」的練習,讓孩子去接觸同一個物品從不同角度看過去的幾何圖形面貌為何?從平面2D的幾何圖形切面,是否能找到對應的積木並還原面貌?(樂高的說明書幾本上還是立體的,非全平面切面)又,能否理解甚至畫出從立體的積木為平面時會是怎樣的幾合圖形?
當然,桌遊本身並沒有我剛說的這些更深入的延伸學習講義與教材,可是它所提供的學習方向與練習是如此,這是他與樂高能學到不同的內容,提供給大家參考。
我自己非常開心小康軒出了3D森林樂園的桌遊,透過它可以建立與強化孩子的空間概念,而且是用這麼可愛好玩的積木,不是死氣沈沈的正方形結構與紙本題目,實在是太棒的一款!
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以下為本段內容文稿:
小時候常常會有一種幻想,就是每次遇到困難的時候,看看會不會有一個人突然給我一本秘笈,讓我能夠馬上得學會一些很重要的招數,然後馬上解決掉問題。
這樣的秘笈式的思維喔,不知道你有沒有?我想這是我們文化底蘊當中的一部分吧!
就好像是我們這一代人,很多人都看武俠小說長大,不管是金庸的,還是古龍的,你會發現這些小說裡面的「套路」。
就是男主角可能遇到了一個災難,或者被打落山崖,而因禍得福的撿到一本秘笈,或者是遇到一個世外高人;甚至於呢,因為吃錯了某個很毒的東西,反而練就了自己百毒不侵的體質。
這些故事喔,我都會在我們的心中設下了一個原型。這個原型就是,噢~原來我只要遇到任何困難,其實都有一個可能不知道在哪裡,但我只要找到了,就能夠馬上解決的武林秘笈。
其實還不止是我們的文化,外國人有時候也會有這樣的狀況。比如說,好萊塢的英雄電影「漫威宇宙」。
這些裡面比如說像蜘蛛人啊、綠巨人浩克啊,你會發現噢,他們也都是因為一個意外、一個狀況、一個實驗的失敗,反而讓他們練就一個很好的體質。
那麼你可能會很好奇,這樣的思維現象,對我們會造成什麼影響呢?兩個方向你可以想一下喔。
第一個就是有這樣的秘笈型的思維,其實它不只是停留在娛樂文化上;它其實會是我們一種隱性的價值觀,去深入我們的工作跟生活。
而第二個,這樣的秘笈性的思維,對於我們每一個人來說,他是不是有危險性?而它的危險性就會在哪邊?
如果秘笈型的思維,是一種我們對於真實世界的曲解、是一種謬誤,那到底什麼才是真正正確的呢?
為什麼這樣說呢?我們回想一下自己求學的過程,我們是不是常常會去追求一些解題的方法、回答問題的技巧?
但是我們常常對於這背後的原理跟原則,並沒有花同樣的時間去理解;甚至於會覺得懂那個幹嘛?我只要考試能應付得過去就好了。
如果在職場上,我們也常常說有「關係就沒關係,沒關係就有關係」。但是它的確解釋了一些現象,這是不可否認的。
然而如果從你這一輩子的一個長期經營來看,你真的要靠拉關係嗎?關係之於每一個人的職場生涯,它到底是真正的解方,還是只是階段的秘笈呢?
你有再好的關係,但是你做事不可靠;你有再好的關係,你的能力不夠;你有再好的關係,你的專業不到位。你想這個關係,真的能夠幫你長期的去兌換應該有的價值嗎?
所以到底什麼是關鍵,我們如果都依賴那些解方啊、那些秘笈啊、那些技巧啊;有沒有可能反而造成,我們永遠到不了我們真正想去的地方?
其實啊,這種求取秘笈的思維是很危險的,它的危險到底是什麼呢?其實第一個喔,就是秘笈型的思維,它的本質是會讓我們把複雜的東西,趨於過分的簡化。
你看喔,我們在面對任何問題的時候,比如說我們小時候數學題不會解,而有人教我們解題的技巧。你會發現這些技巧,它有一部分其實是正確的。
然而如果要我說,我說就因為它有一部份是正確的,它可以幫助我們回答問題,它才最可怕!
它就好像是哦,你遇到詐騙一樣。如果那些一開口就讓你覺得很離譜的,你根本不會被騙對不對?
其實任何會被騙的狀況,都是他假假真真、半真半假;有時候一些很特定的方法,其實是很管用的,他在一定的時間範圍裡面,的確會能夠讓你一招半式闖天下。
但長期來看,這種一招半式的思維,它就會讓人不會再真正的成長,也不會真正的去深究你所遇到的現象,它的本質是什麼?
就好像是有人在工作裡面,因為拉關係得到了一些好處;所以呢,他就從此以後認為,凡是以拉關係為最高指導原則。
其實拉關係的確會短暫的為你帶來一些好處,可是你關係都拉好了,你做事沒有辦法達到別人的要求,那這個關係,其實長期來看會使你大扣分;因為你拉的關係越多,也說明了會有更多人說你這個人不到位、不可靠。
所以呢你把某個小技巧,當成是唯一,它就等於讓你放棄了對其他可能性的觀察跟學習,最後你幾乎無可避免的會走向失敗,這是它其中的一個危險。
而第二個危險呢,就是秘笈型的思維,它會造成我們內在的一種賭博的心態;我們會企圖去找那個可以一步登天、一步到位、一次解決的事情。
那就好像是一個人想要變有錢,他不是去札根他的專業,他不是好好的去做市場的功課;他是期望他做對一次交易、做對一次買賣、投資對一隻股票;甚至於買一張彩券,來讓他變有錢。
有一句話是這麼說的:「如果上帝要毀滅一個人,就讓他第一次賭博的時候就賺錢。」為什麼這麼說呢?
很簡單嘛,你第一次賭博就賺錢,你從此以後,就會放大賭博為你帶來的效益;他可能就只有那一次,你之後可能輸到傾家蕩產;但是你的信念仍停留在我只要贏一把我就賺回來。
所以呢,綜合這些秘笈型的思維,會為我們帶來的負面影響,我常常就有一個感觸哦!
就是當我們越是要求快,我們反而沒有辦法更有效的去到我們想去的地方,人生的多數狀況裡,都是慢慢來會比較快。
那如果說跟「秘笈型的思維」相反面是什麼呢?它的相反面就是,我能不能在每一個時刻底下,去做好我的優化跟前進。
它就像是我在昨天跟大家分享的「全流程的思維的優化」是一樣的。
那麼回到你身上,如果你一直活在一種要找到一個最終解決方案、要一次到位、一步到位;在這樣的心情底下,你會好好認真的看待自己的每一天嗎?
又或者是,你會不會覺得認真的過每一分鐘,它其實是一個很慢、很浪費時間,而且不知道什麼時候才會來的?
然而如果你聽到這邊,已經清楚的認知到秘笈型的思維,在本質上就是一場賭博,而且幾乎沒有贏的可能;那麼你願不願意好好的,認真對待自己的每一天、每一分鐘呢?
如果你願意的話,我很鼓勵你把握我們的線上課程,【時間駕訓班】的季節限定優惠的最後時限。
你在聽到這一段內容的時候,已經是1月17號;再過幾個小時,也就是1月17號的晚上十二點,我們季節限定的優惠,就會到那個時候就停止。所以你如果還沒加入【時間駕訓班】的學習,很期待你把握這難得的機會。
如果人生的圓滿沒有秘笈,那麼你需要的,就是學會怎麼樣好好安排自己的時間跟生命?然而我可以很肯定的告訴你,圓滿人生的秘笈,其實就是你是否過好你的每一天。
希望今天的分享,能夠帶給你一些啓發與幫助,我是凱宇。
如果你喜歡我製作的內容,記得一定要訂閱我們的頻道,無論是YouTube還是Podcast,也很希望你把這個訊息,分享給你身旁的朋友。
然而如果你對於啟點文化的商品,或課程有興趣的話,尤其是剛剛一再提到的喔,我們的【時間駕訓班】的線上課程;季節限定的優惠,就在今天晚上的12點就停止了!
期盼你把握機會,我很希望能夠在你的人生裡面,透過跟你一起學習跟前進,我們慢慢的累積出自己想要的人生;今天就跟你聊到這邊了,謝謝你的收聽,我們再會。
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