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向量外積內積在數學老師張旭 Facebook 的最佳解答

2021-06-10 10:13:15 有 17 人按讚

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By 台灣物聯網實驗室 IOT Labs

2021-05-29 18:18:27 有 0 人按讚

機器學習識別特徵阻絕代測　上鏈回送監理資料庫防竄改

人臉辨識加酒精鎖阻酒駕　串區塊鏈上傳比對告警

2021-05-24社團法人台灣E化資安分析管理協會元智大學多媒體安全與影像處理實驗室

本文將介紹酒精防偽人臉影像辨識系統，結合了人臉辨識、酒精鎖以及區塊鏈應用，以解決酒駕問題，並透過監控系統避免代測狀況發生。且利用區塊鏈不可修改的特性，將車輛與人臉資料串上區塊鏈，以確保駕駛人的不可否認性。

長長期以來「酒駕」都是一個很嚴肅且必須被重視的議題，儘管在2019年立法院修法酒駕及拒絕酒測的罰則，但是抱持僥倖心態的人還是數不勝數，導致因酒駕釀成車禍的悲劇還是一再重演，讓不少的家庭因此破滅。

據統計，從2015年到2018年的酒駕取締件數都逾10萬件，而因為酒駕車禍的死亡人數逾百人。在2019年酒駕新制上路以後，2020年警方酒駕取締件數有明顯下降至約6萬件，雖然成功達到嚇阻效果，但是死亡人數仍與去年前年持平，可見離完全遏止酒駕還有很長的路需要努力。

立法院於2018年三讀通過了「道路交通管理處罰條例部分條文修正案」，酒駕者必須重新考照，並且只能駕駛具有酒精鎖（Alcohol Interlock）的車輛，所謂酒精鎖，屬於車輛點火自動鎖定裝置，在汽車發動前必須進行酒測，通過才能將汽車發動，而且在每45分鐘至60分鐘後酒精鎖系統就會要求駕駛人在一定時間內進行重新酒測，以便防範在行車過程中有飲酒的情況發生，若駕駛人未遵守其要求，車子就會強制熄火並鎖死，必須回酒精鎖服務中心才能將鎖解開。

由於法案的方式無法完全遏止酒駕，因此許多創新科技或是企業致力於研究相關科技來解決酒駕的問題。

其中本田（Honda）汽車與日立（Hitachi）公司研發出手持型酒精含量檢測裝置，讓駕駛人必須在駕駛之前都先進行酒測，若酒精濃度超標就會將汽車載具上鎖，藉此避免酒駕意外或事故發生，且該技術結合了智慧鑰匙功能，若偵測到酒測值超標，車輛中的顯示面板將會發出警告訊號告知駕駛人，避免酒駕上路之問題。

另一方面則是解決酒精殘值之問題，因為有許多駕駛人都會認為，休息一下後，身體也無感到不適，即駕車出門，等到駕駛人被警方臨檢時才知道酒測未通過，因此收到罰單，甚至是吊銷駕照處罰等。

根據醫學研究指出，酒精是在人體體內由肝臟代謝，實際代謝時間必須看體質以及飲酒量而定。台灣酒駕防制社會關懷協會建議，喝酒後至少要10至20小時後再駕車比較安全。多數人無具備酒精代謝時間的觀念，導致駕駛人貿然上路，待意外發生或罰單臨頭時，已經為時已晚。

背景知識說明

本文介紹的方法為酒精鎖結合攝影鏡頭進行人臉辨識，並將人臉特徵資料與車輛資料串上區塊鏈，並利用區塊鏈不可篡改的特性，來避免駕駛人在解鎖酒精鎖時發生他人代測的問題。

由於人臉辨識技術具備防偽性、身分驗證的特性，因此將酒精鎖的技術結合人臉辨識，便可確認為駕駛本人。

何謂人臉辨識

人臉辨識技術屬於生物辨識的一種，基於人工智慧、機器學習、深度學習等技術，將大量人臉的資料輸入至電腦中做為模型訓練的素材，讓電腦透過演算法學習人類的面部特徵，藉以歸納其關聯性最後輸出人臉的特徵模型。

目前人臉辨識技術已經遍佈在日常生活之中，其應用面廣泛，最為常見的應用即為智慧型手機的解鎖、行動支付如LINE Pay、Apple Pay等，其他應用還包括行動網路銀行、網路郵局、社區大樓門禁管理系統、企業監控系統、機場出入關、智能ATM、中國天眼系統等。一般來說，人臉辨識皆具備以下幾個特性：

‧ 普遍性：屬於任何人皆擁有的特徵。

‧ 唯一性：除本人以外，其他人不具相同的特徵。

‧ 永續性：特徵不易隨著短時間有大幅的改變。

‧ 方便性：人臉辨識容易實施，設備容易取得，如相機鏡頭。

‧ 非接觸性：不須直接接觸儀器，也可以進行辨識，這部分考量到衛生問題以及辨識速度。

人臉辨識透過人臉特徵的分析比對進行身分的驗證，別於其他生物辨識如虹膜辨識、指紋辨識，無須近距離接觸，也可以精準地辨識身分，且具有同時辨識多人的能力。因應新冠肺炎疫情肆虐全球，人臉辨識技術也被用來管理人來人往的人流。人臉辨識的儀器可以搭配紅外線攝影機來測量人體體溫，在門禁進出管制系統中，利於提高管理效率，有效掌握到進出人員的身分，以及幫助衛生福利部在做疫調時更容易掌握到確診病患行經的足跡。

人臉辨識的步驟

人臉辨識的過程與步驟，包括人臉偵測、人臉校正、人臉特徵值的摘取，進行機器學習與深度學習、輸出人臉模型，從影像中先尋找目標人臉，偵測到目標後會將人臉進行預處理、灰階化、校正，並摘取特徵值，接著人臉資料交給電腦進行機器學習與深度學習運算，最後輸出已訓練好的模型。相關辨識的步驟，如圖1所示。

人臉偵測

基於Haar臉部檢測器的基本思想，對於一個一般的正臉而言，眼睛周圍的亮度較前額與臉頰暗、嘴巴比臉頰暗等其他明顯特徵。基於這樣的模式進行數千、數萬次的訓練，所訓練出的人臉模型，其訓練時間可能為幾個小時甚至幾天到幾周不等。利用已經訓練好的Haar人臉特徵模型，可以有效地在影像中偵測到人臉。

Python中的Dilb函式庫提供了訓練好的人臉模型，可以偵測出人臉的68個特徵點，包括臉的輪廓、眉毛、眼睛、鼻子、嘴巴。基於這些特徵點的資料就能夠進行人臉偵測，如圖2～4所示。圖中左上角的部分是偵測到的分數，若分數越高，代表該張影像就越可能是人臉，右側括弧中的編號代表子偵測器的編號，代表人臉的方向，其中0為正面、1為左側、2為右側。

人臉的預處理

偵測到人臉後，要針對圖片進行預處理。通常訓練的影像與攝影鏡頭拍出來的照片會有很大的不同，尤其會受到燈光、角度、表情等影響，為了改善這類問題，必須對圖片進行預處理以減少這類的問題，其中訓練的資料集也很重要：

‧ 幾何變換與裁剪：將影像中的人臉對齊與校正，將影像中不重要的部分進行裁切，並旋轉人臉，並使眼睛保持水平。

‧ 針對人臉的兩側用直方圖均衡化：可以增強影像中的對比度，可以改善過曝的影像或是曝光不足的問題，更有效地顯示與取得人臉目標的特徵點。

‧ 影像平滑化：影像在傳遞的過程中若受到通道、劣質取樣系統或是受到其他干擾導致影像變得粗糙，藉由使用圖形平滑處理，可以減少影像中的鋸齒效應和雜訊。

人臉特徵摘取

關於人臉特徵摘取，相關的技術說明如下：

‧ 歐式距離：人臉辨識是一個監督式學習，利用建立好的人臉模型，將測試資料和訓練資料進行匹配，最直觀的方式就是利用歐式距離來計算所有測試資料與訓練資料之間的距離，選擇差距最小者的影像作為辨識結果。由於人臉資料過於複雜，且需要大量的訓練集資料與測試集資料，會導致計算量過大，使辨識的速度過於緩慢，因此需要透過主成分分析法（Principal Components Analysis，PCA）來解決此問題。

‧ 主成分分析法：主成分分析法為統計學中的方法，目的是將大量且複雜的人臉資料進行降維，只保留影像中的主成分，即為影像中的關鍵像素，以在維持精確度的前提下加快辨識的速度。先將原本的二維影像資料每列資料減掉平均值，並計算協方差矩陣且取得特徵值與特徵向量，接著將訓練集與測試集的資料進行降維，讓新的像素矩陣中只保留主成分，最後則將降維後的測試資料與訓練資料做匹配，選擇距離最近者為辨識的結果。由於影像資料經過了降維的步驟，因此人臉辨識的速度將會大幅度地提升。

‧ 卷積神經網路：卷積神經網路（Convolutional Neural Network，CNN）是一種神經網路的架構，在影像辨識、人臉辨識至自駕車領域中都被廣泛運用，是深度學習（Deep Learning）中重要的一部分。主要的目的是透過濾波器對影像進行卷積、池化運算，藉此來提取圖片的特徵，並進行分類、辨識、訓練模型等作業。在人臉辨識的應用中，首先會輸入人臉的影像，再透過CNN從影像提取像素特徵並轉換成特定形式輸出，並用輸出的資料集進行訓練、辨識等等。

何謂酒精鎖

酒精鎖（圖5）是一種裝置在車輛載體中的配備，讓駕駛人必須在汽車發動前進行酒測，通過後才能將車輛發動。且每隔45分鐘至60分鐘會發出要求，讓駕駛人在時間內再次進行檢測。

根據歐盟經驗，提高罰款金額以及吊銷駕照只有在短期實施有效，只有勸阻的效果，若在執法上不夠嚴謹，被吊照者會轉變成無照駕駛，因此防止酒駕最有效的方法就是強制讓駕駛人無法上路，這就是「酒精鎖」的設計精神。

在本國2020年3月1日起酒駕新制通過後，針對酒駕犯有了更明確且更嚴厲的規定，在酒駕被吊銷駕照者重考後，一年內車輛要裝酒精鎖，未通過酒測者無法啟動，且必須上15小時的教育訓練才能重考，若酒駕累犯三次，要接受酒癮評估治療滿一年、十二次才能重考。

許多民眾對於「酒精鎖」議論紛紛，懷疑是否會發生找其他人代吹酒精鎖的疑慮，為防範此問題，酒精鎖在啟動後的五分鐘內重新進行吹氣，且汽車在行駛期間的每45至60分鐘內，便會隨機要求駕駛重新進行酒測，如果沒有通過測量或是沒有測量，整合在汽車智慧顯示面板的酒精鎖便會發出警告，並勸告駕駛停止駕車。

對於酒精鎖的實施，目前無法完全普及到每一台車子，而且對於沒有飲酒習慣的民眾而言，根本是多此一舉，反而增加不少麻煩給駕駛。若還有每45～60分鐘的隨機檢測，會導致多輛汽車必須臨時停靠路邊進行檢測，可能加劇汽車違規停車的發生頻率。

認識區塊鏈

區塊鏈技術是一種不依賴於第三方，透過分散式節點（Peer to Peer，P2P）來進行網路數據的存儲、交易與驗證的技術方法。本質上就是一個去中心化的資料庫，任何人在任何時間都可以依照相同的技術標準將訊息打包成區塊並串上區塊鏈，而這些被串上區塊鏈的區塊無法再被更改。區塊鏈技術主要依靠了密碼學與HASH來保護訊息安全，也是賦予區塊鏈技術具有高安全性、不可篡改性以及去中心化的關鍵。區塊鏈相關概念，如圖6所示。

區塊鏈的原理與特性

可以將區塊鏈想像成是一個大型公開帳本，網路上的每個節點都擁有完整的帳本備份，當產生一筆交易時，會將這筆交易廣播到各個節點，而每個節點會將未驗證的交易HASH值收集至區塊內。接著，每個節點進行工作量證明，選取計算最快的節點進行這些交易的驗證，完成後會把區塊廣播給到其他節點，其他節點會再度確認區塊中包含的交易是否有效，驗證過後才會接受區塊並串上區塊鏈，此時就無法再將資料進行篡改。

關於區塊鏈的特性，可分成以下四部分做說明：

1. 去中心化：區塊鏈其中一個最重要的核心宗旨，就是「去中心化」，區塊鏈採用分散式的點對點傳輸，該概念架構中，節點與節點之中沒有所謂的中心，所有的操作都部署在分散式的節點中，而無須部署在中心化機構的伺服器，一筆交易或資料的傳輸不再需要第三方的介入，因此又可以說每個節點就是所謂的「中心」。這樣的結構也加強了區塊鏈的穩定性，不會因為其中的部分節點故障而癱瘓整個區塊鏈的結構。

2. 不可篡改性：透過密碼學與雜湊函數的運用來將資料打包成區塊並上鏈，所有區塊都有屬於它的時間戳記，並依照時間順序排序，而所有節點的帳本資料中又記錄了完整的歷史內容，讓區塊鏈無法進行更改或是更改成本很高，因此使區塊鏈具備「不可篡改性」，並且同時確保了資料的完整性、安全性以及真實性。

3. 可追溯性：區塊鏈是一種鏈式的資料結構，鏈上的訊息區塊依照時間的順序環環相扣，這便使得區塊鏈具有可追溯的特性。可追本溯源的特性適用在廣泛的領域中，如供應鏈、版權保護、醫療、學歷認證等。區塊鏈就如同記帳帳本一般，每筆交易記錄著時間和訊息內容，若要進行資料的更改，則會視為一筆新的交易，且舊的紀錄仍會存在無法更動，因此仍可依照過去的交易事件進行追溯。

4. 匿名性：在去中心化的結構下，節點與節點之間不分主從關係，且每個節點中都擁有一本完整的帳本，因此區塊鏈系統是公開透明的。此時，個人資料與訊息內容的隱私就非常重要，區塊鏈技術運用了HASH運算、非對稱式加密與數位簽章等其他密碼學技術，讓節點資料在完全開放的情況下，也能保護隱私以及用戶的匿名性。

區塊鏈與酒精鎖

由於區塊鏈的技術具備去中心化、記錄時間以及不可篡改的特性，且更加強酒精鎖的檢測需要身分驗證的保證性。當進行酒精鎖檢測解鎖時，系統記錄駕駛人吹氣時間以及車輛的相關資訊，還有人臉特徵資料打包成區塊並串上區塊鏈。因此，在同一時間當監控系統偵測到當前駕駛人與吹氣人不同時，此時區塊鏈中所記錄的資料便能成為一個強而有力的依據，同時也能讓其他的違規或違法事件可以更容易進行追溯。

酒駕防偽人臉辨識系統介紹

為了解決酒精鎖發生駕駛人代測的問題，酒精鎖產品應導入具有身分驗證性的人臉辨識技術。酒駕防偽人臉辨識系統即為駕駛人在進行酒精鎖解鎖時，要同時進行人臉辨識，來確保駕駛人與吹氣人為同一人。

在駕駛座前方的位置會安裝攝影鏡頭，作為駕駛的監控裝置。進行酒測吹氣的人臉資料將會輸入到該系統中的資料庫儲存，並將人臉資料以及酒測的時間戳記打包成區塊串上區塊鏈，當汽車已經駛動時，攝影鏡頭將會將當前駕駛人畫面傳回系統進行人臉比對驗證。如果驗證成功，會將通過的紀錄與時間戳一同上傳至區塊鏈，若是系統偵測到駕駛人與吹氣人為不同對象，系統將發出警示要求駕駛停車並重新進行檢測，並同時將此次異常的情況進行記錄上傳到區塊鏈中。

如果駕駛持續不遵循系統指示仍持續行駛，該系統會將區塊鏈的紀錄傳送回給開罰的相關單位，並同時發出警報以告知附近用路人該車輛處於異常情況，應先行迴避。且該車輛於熄火後，酒精鎖會將車輛上鎖，必須聯絡酒精鎖廠商或酒精鎖服務中心才能解鎖。相關的系統概念流程圖，如圖7所示。

區塊鏈打包上鏈模擬

在進行酒測解鎖完畢以及進行人臉資料儲存後，會透過CNN將影像轉換輸出成128維的特徵向量作為人臉資料的測量值，接著將128個人臉特徵向量資料取出，並隨著車輛資訊一起打包到同一個區塊，然後串上區塊鏈。取出的人臉特徵資料，如圖8所示。

要打包成區塊和上鏈的內容，包括了人臉特徵資料、車牌號碼、酒測解鎖時間點等相關輔助資料，接著透過雜湊函數將相關的資料打包成區塊。以車牌號碼ABC-1234為例，圖9顯示將車輛資料和人臉資料進行區塊鏈的打包，並進行HASH運算。

將人臉資料和車輛相關資料作為一次的交易內容，並打包區塊，經過HASH後的結果如圖10所示，其中prev_hash屬性代表鏈結串列指向前一筆資料，由於這是實作模擬情境，並無上一筆資料，其中messages屬性代表內容數，一筆代表車牌資料，另一筆則為人臉資料。time屬性則代表區塊上鏈的時間點，代表車輛解鎖的時間點。

情境演練說明

話說小禛是一間企業的上班族，平時以開車為上下班的交通工具，他的汽車配置了酒駕防偽影像辨識系統，以下模擬小禛下班後準備開車的情境。

已經下班的小禛今天打算從公司開車回家，當小禛上車準備發動車子時，他必須先拿起安裝在車上的酒測器進行吹氣，並將臉對準攝影鏡頭讓系統取得小禛的人臉影像。小禛在汽車發動前的人臉影像，如圖11所示。

待攝影鏡頭偵測到小禛的人臉後，接著系統便會擷取臉上五官的68個特徵點，如圖12所示。然後，相關數據再透過CNN轉換輸出成128維的特徵向量作為人臉資料的測量值，如圖13所示。

酒精鎖通過解鎖後，車輛隨之發動，解鎖成功的時間點將會記錄成時間戳記，隨著影像與相關資料串上區塊鏈。在行駛途中，設置在駕駛座前方的鏡頭將擷取目前駕駛的人臉，以取得駕駛人的128維人臉特徵向量測量值，並且與汽車發動前所存入的人臉資料進行比對，藉以判斷目前的駕駛人與剛才的吹氣人臉是否為同一位駕駛。當驗證通過後，也會再將通過的紀錄與時間戳上傳至區塊鏈中，如此一來，區塊鏈的訊息內容便完整記載了這一次駕車的紀錄，檢測通過的示意圖如圖14所示。

系統通過辨識後，便確認了駕駛人的身分與吹氣人一致。且透過時戳的紀錄和區塊鏈的輔助，也確保了駕駛的不可否認性。若有其他違規事件發生時，區塊鏈的紀錄便成為一個強而有力的依據來進行追溯。

如此一來，便可以預防小禛喝酒卻找其他人代吹酒測器的情況發生。在駕駛的途中，如果有需要更換駕駛人，必須待車輛靜止時，從車載系統發出更換駕駛要求，再重新進行酒測以及重複上述流程，才可以更換駕駛人。如果沒有按照該流程更換駕駛，系統將視為異常情況。

結語

酒駕一直是全球性的問題，將有高機率導致重大交通事故，造成人員傷亡、家庭破碎，進而醞釀後續更多的社會問題，皆是酒駕所引發的不良效益。為了解決酒駕的問題，各個國家都有不同的酒駕標準或是法律規範，但是大部分國家的規範和制度都只有嚇阻作用卻無法完全遏止。在不同的國家防止酒駕的方式不盡相同，有的國家如新加坡，透過監禁及鞭刑來遏止酒駕犯，又或者是薩爾瓦多，當發現酒駕直接判定死刑，這樣的制度雖嚇阻力極強，但是若讓其他國家也跟進，會造成違憲或是違反人權等問題。因此，各國都在酒駕的問題方面紛紛投入研究，想要達到零酒駕的社會。

為達成此理想，本文介紹了基於區塊鏈的酒駕防偽辨識系統，利用酒精鎖搭配人臉辨識技術以及區塊鏈技術，使有飲酒的駕駛人無法發動汽車。且該系統搭載在行車電腦中，結合攝影鏡頭的監控對駕駛進行酒測防制管理，將人臉資料、酒精鎖、解鎖時間點與相關資訊打包成區塊並上鏈。基於區塊鏈技術內容的不易篡改，可加強駕駛人的不可否認性，當汽車發生異常情況時，便能利用有效且可靠的依據進行追溯。人工智慧和物聯網時代已經來臨，透過酒駕防偽辨識系統來改善酒駕問題，在未來能夠普及並結合法規，智慧汽車以及智慧科技的應用將會帶給人們更安全、更便利的社會。

附圖：圖1 人臉辨識的步驟。
圖2 人臉特徵點偵測（正臉）。
圖3 人臉特徵點偵測（左側臉）。
圖4 人臉特徵點偵測（右側臉）。
圖5 酒精鎖。（圖片來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Guardian_Interlock_AMS2000_1.jpg with Author: Rsheram）
圖6 區塊鏈分散式節點的概念圖。
圖7 系統概念流程圖。
圖8 取出人臉128維特徵向量。
圖9 儲存車輛相關資料及人臉資料到區塊。
圖10 HASH後及打包成區塊的結果。
圖11 汽車發動前小禛的人臉影像。
圖12 小禛的人臉影像特徵點。
圖13 小禛的人臉特徵向量資料。
圖14 系統通過酒測檢測者與駕駛人為同一人。

資料來源：https://www.netadmin.com.tw/netadmin/zh-tw/technology/CC690F49163E4AAF9FD0E88A157C7B9D

Tags: 向量外積內積

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2021-01-28 20:43:49 有 1 人按讚

AI加值智慧製造鋼鐵傳產乘浪而起

芮嘉瑋／專欄 2021-01-28 02:45

2020年面對COVID-19(新冠肺炎)的襲擊，疫情籠罩之下各行各業幾乎空轉一年，投資購買設備及原料的腳步也都放緩，預期新的一年，隨著疫情穩定與經濟復甦，許多企業勢必加速添購設備和增加庫存料，鋼材需求可望隨著市場回升而轉強，且至少旺到第2季。

舉例來說，在汽車的構造上，有相當高的比例是使用鋼板，包括車門、引擎蓋、後車箱、底盤、車頂等，所以汽車業的好壞，間接影響了鋼材的需求。這2年汽車上游原材料反應了因電動車興起所展開的換車潮，從而鋼市好轉、鋼價高漲，幾乎各國都是如此。

隨著消費型態轉變，產品生命週期縮短，各行各業面臨客製化的挑戰，並在智慧工廠生產流程的訴求下，往往需要智慧機械、智慧製造設備以從事更複雜的生產工作，鋼鐵傳產業也不例外。然而，現有機器人或製造機台受限於原本功能單一又無法擴充的窘境，必須藉由人工智慧、物聯網、大數據等各種新興技術多元化功能的整合，以利製造業數位轉型升級，因應瞬息萬變的市場挑戰，凸顯「智慧製造」的概念是企業轉型升級的唯一出路。

何謂智慧製造？

經歷4次工業革命的演進，第4次工業革命被視為「工業4.0」，且因智慧製造是工業4.0的核心部件，在製造產業兩者幾乎可劃上等號，從而「工業4.0」常被稱為「智慧製造」。

在工業4.0的時代驅動下，現今製造業不斷與數種新興技術結合，從而工業4.0被定義為「製造技術中整合了網路安全(cybersecurity)、擴增實境(AR)、大數據、自主機器人(autonomous robots)、積層製造(additive manufacturing)、模擬(simulation)、系統整合(system integration)、雲端運算(cloud computing)和物聯網等技術使之具有自動化、聯網、數據交換以及智能工廠所需功能的系統平台」。

因此，智慧製造實際上需要整合以上所述之各種關鍵領域技術的同步發展以建構出相應的產業生態體系，並在生產過程的每一個環節都能達到高度自動化、客製化與智慧化的先進製造模式，使生產環境具備自我感知、自我學習、自我決策、自我執行以及自我適應的能力，以適應快速變化的外部市場需求。

如何利用AI加持智慧製造

由於智慧製造包括連網(connection)、轉化(conversion)、虛擬(cyber)、認知(cognition)和自我配置(configure)等能力，其中利用機器學習、深度學習等AI技術使機器具備自我診斷並即時做出判斷的認知能力，就是AI之所以成為智慧製造核心技術之所在，它可以從大量原始數據中自動提取關鍵特徵及製造業中規律性的模式，進而學習過往曾經發生過的錯誤，以提前作預測及預警，藉此不僅可降低停機時間、提升製程效率，也可適時的根據產線作調整。

至於該如何利用AI加持智慧製造，讓我們看看國內鋼鐵龍頭中國鋼鐵股份有限公司(簡稱中鋼公司)，在其智慧生產技術中導入AI實現智慧製造的專利布局，提供製造業者掌握AI加值智慧製造，讓工廠轉型升級邁向智慧工廠。

中鋼發明一種透過人工智慧演算模組在生產製程中進行估測及控制的系統(TWI704019)，具體而言，係透過人工智慧演算模組所產生的估測鋼帶翹曲模型對鋼帶翹曲量進行估測，而該人工智慧演算模組係利用機器學習模組、深度學習模組或者使用一雲端伺服器模組評估該製程參數及該翹曲量。

該專利提供一種包含熱浸鍍鋅設備100、矯正機構130、感測模組150、人工智慧演算模組160以及最佳化演算模組165的熱浸鍍鋅鋼帶翹曲量估測系統。其中，該人工智慧演算模組160連接該感測模組150及該熱浸鍍鋅設備110，用以收集且評估該熱浸鍍鋅設備110中諸如產線速度、張力、鋼帶鋼種、鋼帶寬度、鋼帶厚度、鋼帶剛性等製程參數及翹曲量，進而可產生估測鋼帶翹曲模型，且該估測鋼帶翹曲模型包含一矯正干涉量，用以供矯正機構130矯正鋼帶。

經過大量數據的累積，該估測鋼帶翹曲模型還可以包含來自該最佳化演算模組165的製程參數最佳值，當類似或相同的製程參數(例如類似或相同鋼種)的鋼帶需要進行熱浸鍍鋅時，該估測鋼帶翹曲模型就會顯示諸如最佳張力、最佳產線速度、最佳矯正干涉量等製程參數最佳值，供操作者參考，從而獲得翹曲量最少且鍍鋅厚度一致的鍍鋅鋼帶。

再者，由於一般的鋼捲產品需要經過諸如煉鋼、熱軋和冷軋等許多生產階段，為了讓產品的機械性質符合預定的規範，過去往往依賴人為經驗調整生產階段的製程參數，然而，人為經驗難以即時反應生產線狀況，中鋼就此發明一種適用於一軋延系統之製程參數的調控方法(TWI708128)，當執行完一部分的生產階段以後，可以即時地計算下一個生產階段的製程參數，其中之製程參數的調控方法包括根據歷史資料建立一機器學習模型，後續並將測試資料輸入至機器學習模型以預測目前產品的機械性質等步驟。

在該專利之軋延系統的運作流程示意圖中，在步驟220，可根據這些歷史資料來建立一個機器學習模型221，此機器學習模型221是要根據生產參數來預測產品諸如拉伸強度、降伏強度和伸長率等的機械性質，換言之在訓練階段中生產參數是作為機器學習模型221的輸入，機械性質則作為機器學習模型221的輸出。機器學習模型221可以是卷積神經網路、支持向量機、決策樹或任意合適的模型。

在步驟230，對目前在線上的產品執行部分的生產階段。在步驟240中，將測試資料輸入至機器學習模型221以預測目前產品的機械性質，並判斷所預測的機械性質是否符合一規範。在步驟250中，依照預設生產參數進行下一個生產階段。

如果步驟240的結果為否，則執行一搜尋演算法以取得最佳的生產參數，並據此實施下一個生產階段(步驟260)。其中，執行搜尋演算法以取得調控後參數的步驟包括：設定一利益函數；將尚未完成生產階段的可調控參數與線上資料合併後輸入至機器學習模型以取得預測機械性質，並根據利益函數計算出預測機械性質的誤差值；以及取得最小誤差值所對應的可調控參數以作為調控後參數。

此外，中鋼亦發明一種設備監診方法(I398629)，係在設備故障監診分析流程的邏輯下導入類神經網路(neural network)之人工智慧，以便在決策分析時有效解決故障類型分類方面問題。

給台灣製造業的建議與展望導入AI技術、配合感測器收集各類數據以及大數據分析進行諸如產線異常診斷或品質監控，以維持機器正常運作無虞是智慧工廠有效運作的基礎。然而，智慧製造除了藉由智慧機械建構智慧生產線、透過雲端和物聯網分析資料、AI自主監測診斷調整產線產能之外，虛實整合系統(或稱網路實體系統，Cyber-physical systems)也是構成工業4.0創建智慧製造所需的功能之一，整合物理模型、感測器資料和歷史數據，在虛擬空間即時模擬呈現生產狀態，透過遠程監視或跟踪與工廠現有的資訊管理系統緊密整合，建立完整資訊生態系統才能透過AI即時彙整資訊進行決策。

未來製造業仍將是全球產業不可或缺的一環，隨著工業4.0的蓬勃發展，台灣製造業在邁向智慧製造過程中，所有智慧化的步驟都需要運用AI來執行分析、診斷、預測或決策等工作，欣見國內鋼鐵龍頭已率先落實AI加值智慧製造，然而若能整合虛擬(Cyber)，強化與工業物聯網之整合，更可提升透過AI提高組織運作效率及效能的目的。

過去製造業藉由大量生產與低價競爭已非決勝關鍵，如何協助國內產業在後疫情時代轉型升級，是當前的重要議題。持續強化在地製造業與資訊業領域的技術整合優勢，透過機器學習、類神經網路或深度學習等AI技術的導入，並與使用者/消費者連結形成完整的製造服務體系，將可望從傳統製造體系中依賴人為經驗、人力需求及規格一致的常態，轉換為自動化、客製化、智慧化和靈活彈性化的智慧製造。本文以鋼鐵龍頭之典範轉移為例，以期台灣所有製造產業均應具備智慧製造的軟硬實力，才能持續在全球製造體系中發光發熱。

附圖：鋼帶翹曲量估測及控制系統結構示意圖。芮嘉瑋
台灣專利號I708128之軋延系統的運作流程示意圖。芮嘉瑋

資料來源：https://www.digitimes.com.tw/tech/dt/n/shwnws.asp?cnlid=1&cat=140&id=0000602586_r1c6gnef7wl2247ink60m

Tags: 向量外積內積

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向量外積內積在李祥數學,堪稱一絕 Youtube 的精選貼文

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2021-09-30 14:44:47 有 1,860 人看過有 66 人喜歡

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學歷：國立台中教育大學數學教育研究所榜首身高：180 星座：雙子目標：將自己十幾年補教生涯所學，毫無保留的貢獻給大家，以讓更多人不討厭數學而努力著 2014.12.18 上傳第一支影片 2018.04.20 1000訂閱 2019.08.09 5000訂閱 2020.01.18 10000訂閱 2020.10.16 20000訂閱 2021.04.12 30000訂閱

向量外積內積在李祥數學,堪稱一絕 Youtube 的最佳貼文

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2021-09-25 13:30:13 有 4,692 人看過有 111 人喜歡

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社群媒體上有些相關的討論：

向量外積內積在 [問題] 內積和外積- 精華區tutor - 批踢踢實業坊的推薦與評價

作者weisor (...)

看板tutor

標題[問題] 內積和外積

時間Tue Oct 7 01:01:20 2003

請問.....

1. 為什麼內積要這樣定義呢?

→ → → →
ａ˙ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ, 純量

2. 為什麼外積要這樣定義呢?

→ → → → → →
|ａxｂ|＝|ａ||ｂ|sinθ, 向量, 方向和ａ、ｂ垂直(右手定則判斷上下)

3. 為什麼內積是純量而外積是向量?

--

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.243.218

→ walthem:大學的吧? 推 140.112.252.70 10/07

→ starya:很多物理現象都用到才有內外積.否則沒意義推 61.217.217.204 10/07

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作者: bluealane (bluealane) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 內積和外積
時間: Tue Oct 7 02:14:11 2003

※ 引述《weisor (...)》之銘言：
: 請問.....
: 1. 為什麼內積要這樣定義呢?
: → → → →
: ａ˙ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ, 純量
: 2. 為什麼外積要這樣定義呢?
: → → → → → →
: |ａxｂ|＝|ａ||ｂ|sinθ, 向量, 方向和ａ、ｂ垂直(右手定則判斷上下)
: 3. 為什麼內積是純量而外積是向量?

回答一好了

因為要看a向量在b向量上的分量阿所以有了內積的定義(基本上應該是要探討a 跟 b

的關聯性拉)

你可以畫兩個向量然後再a上取出bcos(系踏) 應該就很清楚了吧

假如內積為零的話代表兩個向量沒有關聯性也就是工數常在用的 orthogonal

而為什麼內積是純量呢因為內機的公式為投影長乘上被投影長也就是長度乘上

長度所以當然是純量

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--

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◆ From: 140.113.139.101

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作者: bufery (形容詞屠城記) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 內積和外積
時間: Wed Oct 8 16:03:26 2003

※ 引述《weisor (...)》之銘言：
: 請問.....
: 1. 為什麼內積要這樣定義呢?
: → → → →
: ａ˙ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ, 純量
: 2. 為什麼外積要這樣定義呢?
: → → → → → →
: |ａxｂ|＝|ａ||ｂ|sinθ, 向量, 方向和ａ、ｂ垂直(右手定則判斷上下)
: 3. 為什麼內積是純量而外積是向量?
來修電機下的線代你就知到為啥內積要那樣定義
線代是很強大的

--
你所謂的幸福是什麼呢?
我自己也沒發現....
但那是前所未有的
....該怎麼說呢....就好像是被非常廣闊的....溫暖,
而且是無法取代的愛包圍著般..「幸福」不該是給予,
而是和喜歡的人一起創造的..不是嗎?

--

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◆ From: 61.229.75.233

→ stock99:如何跟高中生解釋內外積在日常生活的用處推 210.68.238.87 10/08

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作者: weisor (...) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 內積和外積
時間: Thu Oct 9 01:01:48 2003

※ 引述《bufery (形容詞屠城記)》之銘言：
: ※ 引述《weisor (...)》之銘言：
: : 請問.....
: : 1. 為什麼內積要這樣定義呢?
: : → → → →
: : ａ˙ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ, 純量
: : 2. 為什麼外積要這樣定義呢?
: : → → → → → →
: : |ａxｂ|＝|ａ||ｂ|sinθ, 向量, 方向和ａ、ｂ垂直(右手定則判斷上下)
: : 3. 為什麼內積是純量而外積是向量?
: 來修電機下的線代你就知到為啥內積要那樣定義
: 線代是很強大的

我發現在"線代"裡

dot product 的定義是

given a,b╭─ R^n, a．b = a1b1 + a2b2 + … + anbn
╰─

書上的說法是

∵ a⊥b 時，a1b1 + a2b2 + … + anbn = 0

∴ define a．b = a1b1 + a2b2 + … + anbn

有沒有人有更好的說明或解釋呢?

--
▁ ▁ ▁ ▁▁▁ ▁ ▁▁▁ ▁▁▁ ▁▁▁
█ █ █ █▁▁ █ █▁▁ █ █ █▁█
█▁█▁█ █▁▁ █ ▁▁█ █▁█ █ ▆ ★★ weisor ★★

--

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◆ From: 140.112.243.218

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作者: jackcrow (執著) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 內積和外積
時間: Thu Oct 9 10:35:56 2003

※ 引述《weisor (...)》之銘言：
: ※ 引述《bufery (形容詞屠城記)》之銘言：
: : 來修電機下的線代你就知到為啥內積要那樣定義
: : 線代是很強大的
: 我發現在"線代"裡
: dot product 的定義是
: given a,b╭─ R^n, a．b = a1b1 + a2b2 + … + anbn
: ╰─
: 書上的說法是
: ∵ a⊥b 時，a1b1 + a2b2 + … + anbn = 0
: ∴ define a．b = a1b1 + a2b2 + … + anbn
: 有沒有人有更好的說明或解釋呢?
如果要交高中生的話不能用線代的定義呀~
(雖然最正確的定義為線代的定義，不過高中生沒有修過呀 ^_^ )

內積的定義主要是為了解決物理中的功的問題(平行有效)
外積的定義主要是為了解決物理中的力矩的問題(垂直有效)

--

八拉八拉 ^_____^

--

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◆ From: 140.122.215.47

→ stock99:除了物理以外還有哪些地方會用到內外積? 推 210.68.238.87 10/09

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: Lwms (5000) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 內積和外積
時間: Sat Oct 11 00:32:12 2003

※ 引述《weisor (...)》之銘言：
: ※ 引述《bufery (形容詞屠城記)》之銘言：
: : 來修電機下的線代你就知到為啥內積要那樣定義
: : 線代是很強大的
: 我發現在"線代"裡
: dot product 的定義是
: given a,b╭─ R^n, a．b = a1b1 + a2b2 + … + anbn
: ╰─
: 書上的說法是
: ∵ a⊥b 時，a1b1 + a2b2 + … + anbn = 0
: ∴ define a．b = a1b1 + a2b2 + … + anbn
: 有沒有人有更好的說明或解釋呢?

聽過 inner product space 嗎？

因為這樣定義的時候會滿足以下的 Axiom

(1) < x, x > ≧ 0, and < x, x > = 0 if and only if x = 0
(2) For any scaler a ( Hmmm, 其實還要看這向量空間是 over 什麼 Field 的)
and any x, y, z <z , ax + y > = a<z, x> + <z, y>

(3) For any x, y, z <x, y> = <y, x>* where a |-> a* is complex conjugation
(if F = R then <x, y> = <y, x> )

至於 a‧b = |a||b| cos θ 這件事情

在維度是二或三的情形可以利用餘弦定理推得

但是在維度是 n 的情形，幾何上就沒有直觀的 θ 了

所以在高維度的時候我們是根據 n = 2, 3 的狀況類推

-1 a‧b
定義 θ = cos ---------
|a||b|

這樣就可以知道如果先定義內積為 a‧b = |a||b| cos θ

那麼當維度超過三的時候就不知道 θ 是什麼了 ...

--

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物理的內積與外積公式由來 ... 請問為何內積是乘上COS，而外積是乘上SIN呢? 另外，內積所求得的答案為純量，那外積呢？是否能給一些關於內積與外積的題目！

#47. 向量外積的幾何意義？ - 劇多

向量內積 a.b代表兩個向量對應座標值相乘後相加，得到的是一個數，數值上等於兩向量長度積乘以夾角的餘弦. 幾何上的應用：可以求兩向量夾角；如果兩 ...

#48. 向量內積幾何意義 - WFG

內積 A向量dot B向量＝A向量絕對值乘B向量絕對值cos(angle) 2.A向量外積B向量＝垂直於A向量和B向量的向量它們的數學意義。給我證明也可以另外，我想知道向量ab投影到 ...

#49. 向量推廣

是我們對向量內積所定義的符號. 二向量之外積. 當我們要談外積時，必須要在空間中討論，有關於空間中二向量之外積的形成，其實就是利. 用已知的兩向量，去找出空間中與 ...

#50. 【觀念】利用外積求平行六面體體積| 數學 - 均一教育平台

影片：【觀念】利用外積求平行六面體體積，數學> 高中> 十一年級> 99課綱【十一】空間向量> 空間向量的外積。源自於：均一教育平台- 願每個孩子都成為終身學習者， ...

#51. 外積定義的另一個想法（兩個常數項為零的三元一次聯立方程式 ...

3-3 平面向量的內積 (1). 3-4 面積與二階行列式 (2) ... 補充教材：外積定義的另一個想法（兩個常數項為零的三元一次聯立方程式的解） ...

#52. lt99ok414 外積、體積與行列式 - Camdemy

主題一、空間向量的外積 ... 外積a b. × 是一個向量﹐其性質如下﹕. (1) 方向﹕ ... 注意﹕內積a b. ∙. 是一個實數﹔而外積a b. ×. 是與a ﹐ b 都垂直的一. 個向量﹒

#53. 【數學】關於內積和外積的定義 - 深藍論壇

高中好像只有教內積和外積的使用而沒有詳細說明此兩數學計算方法的定義和 ... (1)因為(向量A在向量B的投影量) = =|向量A| *cosθ ,故內積為(向量A在 ...

#54. OpenCV線性代數-向量的表達,內積與外積運算 - 昨日

OpenCV線性代數-向量的表達,內積與外積運算. 接下來就簡單的介紹向量,以及向量的計算了,在OpenCV內,向量的表達有很多種方式,向量是以CvMat資料結構為 ...

#55. 向量內積外積，為啥要叫內外？

復向量的內、外積將轉置變成共軛轉置.[2]. 2樓：shinbade. 內積：兩個張量（含向量）相乘以後，其總階數減少了，或曰縮小了。形象地看，是向“內”收縮 ...

#56. Chapter 3

向量，例如位移，具有大小和方向（5m，北方）遵守向量代. 向量例如位移具有大小和方向（ ... 兩向量的純量積（或內積）定義 ... 兩向量的向量積（或外積）定義為.

#57. 向量點乘（內積）和叉乘（外積、向量積）概念及幾何意義解讀

向量點乘（內積）和叉乘（外積、向量積）概念及幾何 · 2018.07.27; 程式語言 · 內積, · 程式語言 · 內積, 叉乘, · 內積, 叉乘, 向量, 向量卷積向量, 向量叉乘法向量, ...

#58. 把向量外積定義為 - 中文百科知識

基本信息英文名：向量外積其他外文名：Vector cross product 概念：大拇指方向垂直於 ... 這由內積的定義a· b= | a|·| b|·cos< a, b>；，用投影的方法不難得到證明。

#59. MATLAB中dotx,y和crossx,y是 - 迪克知識網

則a和b的內積是a的長度（絕對值）和b的長度之積乘以兩向量夾角的餘弦. 向量的外積就是向量積. 關於外積，如果要描述，不可避免的要用的矩陣，這裡實在 ...

#60. 圖解向量與解析幾何 - 五南官網

解決向量在老師與學生內心的疙瘩。 ☆難道一定要用物理概念才能學會數學向量嗎？ ☆內積、外積在數學與物理各自是什麼意思？本書是為了解決一段人對向量的大量疑惑。

#61. 向量的內積與外積 - 开发者知识库

設向量a,b的夾角為a(a>=0&&a<=180)，那么a，b的內積a*b=|a||b|cosa，內積用來判斷兩個向量是否正交double dot(poi.

#62. 向量內積與外積之應用- 福氣數理影音教學部落格

文章列表. 文章分類. Top. 所有文章 / 目前分類：知識學習|考試升學. 向量內積與外積之應用. 2009/10/31 15:34:26. 瀏覽：2709. 迴響：0. 推薦：6.

#63. CHAPTER 1. 物理的基本工具

外積為一向量. <2>[座標點運算]. 外積→兩向量之一軸向量之乘積，此成績是第三軸旋轉向量，其方向垂直向量所在之平面。請回家練習﹗ ☆向量內積在物理的應用.

#64. 外積等於零向量的內積和外積差別在哪？ | 藥師家

向量的內積和外積差別在哪？ 010. 圖片參考：http://csm01.csu.edu.tw/0166/Math3/53/ ...

#65. 題目：空間向量、內積、外積與向量微積分 - PDFSLIDE.NET

題目：空間向量、內積、外積與向量微積分. 班級：控晶一乙組別： 10 組指導老師：張淑慧. 組長：控晶一乙許書豪組員：化才三乙陳建輝控金四乙林旻昇電資三甲徐嘉隆 ...

#66. 2-3兩向量之純量積

積又稱點積及內積。另一謂之向量積又. 稱叉積及外積。前者所得之積為純量，. 後者為一向量。兩向量A 與B 純量積寫成A．B;結果定義為一純量，大小等.

#67. 向量的內積與外積@ 一生的夢與愛在此奔騰 | 健康跟著走

(2)利用“內積”與“外積”的概念，求出空間三個向量a ， b ， c 所展成的平行. ... 構成的平面垂直的單位向量，方向由右手定則決定。 ,各座標系統的單位向量內積及外積Dot ...

#68. 內積與外積 - w3c學習教程

內積與外積,1 3 2 內積與外積因為cos 2 0。當然，這也是眾多教科書上介紹向量內積最開始時常常用到的一種定義方式。但必須明確，這種表示方式僅僅.

#69. 內積

id=826或https://sites.com/ntpc.edu 內積（英文： inner product ），又叫點積（dot product），係線性代數入面兩個向量上嘅函數返回一個純量嘅二元運算，同外積相對。

#70. matlab迴圈語句求內積，外積 - 知識的邊界

1樓：匿名使用者. 以下來是迴圈語句，可自以適用於n維向量bai的內積，你可以自己du去做成一個zhifunction的m檔案直接呼叫的。dao程式如下：.

#71. 為什麼高中數學不學習平面向量的向量積外積 - 就問知識人

計算機圖形學常用來進行方向性判斷，如兩向量點積大於0，則它們的方向朝向相近；如果小於0，則方向相反。向量內積是人工智慧領域中的神經網路技術的數學 ...

#72. 向量的內積、外積 - 月旦知識庫

向量的內積、外積. 作者, 吳靜倩. 起訖頁, 277-295. 刊名, 輔仁學誌:法管理學院之部. 期數, 1986 (18期). 出版單位, 輔仁大學法、管理學院.

#73. Numpy入門矩陣計算入門(內積、外積) | Python攻略

之前我們介紹了如何用Numpy製作矩陣，這次要來介紹如何用Numpy來計算矩陣。矩陣的計算加法，純量(scalar)乘法，內積，外積可以用下面的這些方式來 ...

#74. 請問為什麼向量a和向量b的向量積垂直於a和b的平面，不要說是

從結果來說內積的結果是一個數字,外積的結果仍然是一個向量. 對於內積,它是數量積向量a與向量b. a·b = |a| |b| cos(θ). |a| cos(θ)是a到b的投影.

#75. CH03向量與微積分| mengwen - 東海大學

4 】向量：有大小，有方向的量，以「 Latex formula 」表示。 ... 2】純量乘積（內積）（Dot Product）：. 兩向量 Latex ... 3】向量乘積（外積）（Cross Product）：.

#76. 4-2 向量基本運算

反向量 a a a. − a. 與向量. 長度相同、方向相反的向量稱為. 的反向量，記作 ... 的內積是一個實數，其值為. 其中. > < ba,. 代表向量 ... 向量外積之運算規律.

#77. 內外積的由來為什麼叫數量積是內積，而向量積是外積 - 好問答網

矩陣的乘法和向量內積有關還是和外積有關？ · 普通物理,內積和外積分別是在什麼運算時會用到呢? 在計算力矩時,r。f，若顛倒計算，得到的答案都 · 量子力學裡 ...

#78. acm/course/LINE_Intersection - 成大資工Wiki

Computational Geometry · Struct. 點; 線; 面 · Vector. 加法; 減法; 乘法; 除法; 小於; 全等; 內積; 外積; 長度; 角度 · Cross. 兩向量順逆時針的方向; 多邊形面積; 點到 ...

#79. 向量內積外積，為啥要叫「內」「外」？ - 熱知網

內積 inner product，又時候又稱scalar product外積wedge produxt， exterior product， outer product，中文詞窮，都翻譯成了外積，不過意思也確實 ...

#80. CH3:空間向量 - 龍騰版技術高中數學

【3-2空間向量的內積-習題】. ○習題1 ○習題2 ○習題3 ○習題4 ○習題5 ○習題6 ○習題7 ○習題8 ○習題9 ○習題10. 【3-3空間向量的外積-例題】. ○例題1 ○例題2

#81. 《知識問答》向量內積外積，為啥要叫內外？ - 頭條遊戲

楔形積wedge（V） product 似乎是數學研究領域的術語。僅供參考。參考《大學基礎物理學》高教. 《向量分析與場論》科學.

#82. 大學物理先修課程-02 向量的內積與外積- 桃竹苗區域教學資源 ...

您可以嘗試：. 使用支援HTML5 與MP4 編碼的瀏覽器，例如Chrome、Mozilla Firefox 或IE9+; 安裝Flash Player.

#83. 面積向量, 是向量嗎?

我們任務, 本來可以是: 解釋面積向量相加, 或與其他向量內. 積, 或投影到 ... (因為面積還不是向量, 所以不用研究其內積); 然後, 從以上的 ... 十一、我們發現了外積.

#84. [資料結構] 使用C 語言：建立數學向量(Vector) | 開源技術教學網

實務上，當我們要用C 或Fortran 進行向量或矩陣運算時，我們會使用BLAS 系列函式庫，因為使用BLAS ... Dot(U, V) ：內積(product); Cross(U, V) ：外積(cross product) ...

#85. 教材檔案

第三章3-2空間向量的內積-Super講義.pdf, pdf, 2.4 MB, 32. 第三章3-3空間向量的外積-Super講義.pdf, pdf, 3.8 MB, 44. 第三章3-4空間中的平面-Super講義.pdf, pdf ...

#86. 向量內積的幾何意義精選 - 维基百科吧

幾何上的應用：兩向量外積等於以兩向量為鄰邊的平行四邊形面積，方向為兩向量所在平面的法線方向；外積為0，說明兩向量平行。

#87. 【內積外積混合積】- 圖解高等數學系列02 - 爆米花網

如果我們寫成|b| （|a| cos（θ））的形式，可以理解點積的另一個幾何意義，向量a 在b 方向的投影，再乘以b 的長度，或者換個角度來看也成， ...

#88. 向量內積的幾何意義- 經驗知識 - 知知馆- 家常美食，家庭百科

幾何上的應用：兩向量外積等於以兩向量為鄰邊的平行四邊形面積，方向為兩向量所在平面的法線方向；外積為0，說明兩向量平行。

#89. 兩個三維向量叉積S14 3 空間向量和外積 - w3c菜鳥教程

在這裡我們重點討論三維空間向量(x,y,z)。類似於二維向量，我們定義其加法、數乘、模長、內積 ...

#90. 內積外積公式

內積與外積一、空間向量的內積1. 內積定義，，夾角為2. 內積性質(1) 在方向上之正射影為，其長為(2) 柯西不等式：二、外積、體積與行列式1. 外積定義， 2.

#91. 向量點乘（內積）和叉乘（外積，向量積）概念及幾何意義解讀

向量內積公式向量點乘（內積）和叉乘（外積、向量積）概念及幾何意義解讀（ ... 平面向量的內積– 高中數學第三冊和角公式與差角公式三角測量第2章直線與圓直線方程式及 ...

#92. 向量內積定義向量內積（點乘）和外積（叉乘）概念及幾何意義

假設uxy=(，其餘的都是純量。繼前篇向量& 內積& 正射影瞭解內積的物理意義後，三者的連乘積，那麼我們定義a u ax ay⋅=(，，則內積為: 。內積定理11.4 各種內積的性質 ...

#93. 向量垂直內積 - Aspiful

向量內積，也叫做向量的點積，是兩個向量對應分量乘積之和。如果兩個向量是垂直的，那么點積為0 。 ... 向量的外積是一矢量：它的大小=|a × b| = |a|*|b|sin.

#94. 向量內積的幾何意義是什麼,向量點積幾何意義是什麼? - 百知網

一個向量a和一個單位向量e的內積的幾何意義是a在e方向的投影向量。數學向量內積單位向量與外積單位向量的幾何意義分別是什麼？ 2樓：長瀨綿秋.

#95. 向量外積公式§1 - Enhti

向量外積公式§1 · §1 3 空間向量的外積與三階行列式 · 外積_百度百科 · 向量的外積用坐標怎樣計算_百度知道 · 向量點乘（內積）和叉乘（外積，向量積）概念及幾何意… · 二維向量 ...

#96. 向量的內積和外積_leileiliang的博客-CSDN博客_平面向量…

向量的內積和外積_leileiliang的博客-CSDN博客_平面向量… 向量是由n個實數組成的一個n行1列（n1）或一個1行n列（1n）的有序數組；向量的點乘，也叫向量的內積，數量 ...

#97. 向量積_百度百科

向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這 ...

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