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各位晚安
今天再來一篇丈哥講高微
一天兩篇
應該可以看很久了
但其實我之前微積分一次發布也都不只一部
像上次的微分工具統整就是一次五部
只是沒有分兩篇文章發佈
會甚麼會一天發兩篇
其實主要是因為...
沒有為什麼
就累積的存檔實在太多了
如果不趁空檔多發一些的話
可能最後會變成永遠發不完
這樣拍攝的影片沒有馬上派上用場的話
感覺很可惜
言歸正傳
這部影片主要闡述甚麼呢？
把一個函數序列的每一個函數都求積分或微分時
你們覺得其積分值或微分值會收斂到哪去呢？
如果你覺得直接先求這個函數序列的極限
然後再積分或微分就好的話
那就慘了
因為一般來說
函數序列的積分或微分是不一定能和極限交換次序的
要能夠交換次序
必須這個函數序列是均勻收斂才行
這是個很重要的課題
當然世界上大部分能夠轉變成積分或微分和極限交換的問題其收斂都已經是均勻收斂
所以很多計算都是直接交換
要直接交換也不是不行
只是任意交換就代表其實操作者對這個沒有概念
或者是他在心中早就確定是均勻收斂
不過我比較相信大部分的人並非後者就是了
而這樣對於細節能夠如此注意到一個極致
真的是我們數學系最大的特色與能力
對了，如果喜歡丈哥講高微的話
記得按一下丈哥的粉專讚喔：何陋之友-丈哥
本章節到目前為止的學習地圖：
主題一：逐點與均勻收斂
├ 重點整理 1 (https://youtu.be/fwHGhdx2Vaw)
└ 重點整理 2 (https://youtu.be/7Fxf7H_mV_c)
主題二：WMT (https://youtu.be/fwHGhdx2Vaw)
主題三：級數的積分與微分 (https://youtu.be/yPmr5xjhYzw)
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均勻收斂 在 Re: [分析] 均勻收斂和有界之間的關係- 看板Math 的推薦與評價
※ 引述《sogood6108 (duck)》之銘言：
: 剛在做題遇到一些困難 有點混淆
: 已知Fn收斂到f Gn收斂到g 都是均勻收斂
: 1.g會有界嗎?
let f_n(x)=1/n x屬於(0，1) g_n(x)=1/x x屬於(0，1)
f_n(x)均勻收斂至f(x)=0 x屬於(0，1) g_n(x)=1/x x屬於(0，1)
故f和g不一定有界
因為題目要我證明FnGn收斂到fg pointwise
因fn一致收斂到f gn一致收斂到g
故fn逐點收斂到f gn逐點收斂到g
因逐點收斂滿足乘法律故 fn*gn逐點收斂到fg
證明仿照limf(x)->L limg(x)->M 則 limf(x)*g(x)->L*M(初微課本有)
一致收斂不滿足乘法律，因由第一行之反例f_n(1/n)*g_n(1/n)=1/n*n=1不等於
f(x)*g(x)=0
另一則反例在apostol exercise 9.1 9.2 9.3 有，你可以上網找一下
: 但我卡在 不確定g會不會有界 如果有界 我就可以證出來
不一定有界
: 函數列我不太知道要怎麼判斷 她不像一般的數列那麼簡單
: 一般的數列收斂到一個數字 那個數字就是有界
: 但函數列收斂到一個函數 我就不敢直接說有界了..
函數數列逐點去看，是實數數列。比較難的是一致收斂
: 2.已知道Fn均勻收斂到F
: 那F有界 跟Fn有界 彼此會有關係嗎?
fn一致收斂至f 則對任意epsilon>0 存在N>0 SUCH THAT|FN-F|<epsilon
: 假設只給Fn均勻收斂到F 我可以說Fn或是F有界嗎?
fn和f有不有界會互相影響。因 |fn-f|<e 由三角不等式
知 |fn|<|f|+e 及|f|<|fn|+e 故若f有界 則對足夠大之n則 fn有界
fn有界對足夠大之n則 f有界
: 3.在pointwise收斂 跟uniformly收斂兩種情況下
: Fn 跟 f 有沒有界會因此影響嗎?
: 函數列的章節比較抽象 問題有點多 QQ 謝謝
一樣用到|fn|<|f|+e 及|f|<|fn|+e 差別是一個是逐點 ，一個是整個範圍去看
所以會互相影響
有錯請指正
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