丈哥的抽象代數 PART 2 已經上線了 🔡
這一回承接上次的二元運算
要來談談兩個二元運算之間的同構
有興趣的同學一起來看看吧
👉 https://youtu.be/Vd7V0960Fj4
數學證明寫法 在 數學老師張旭 Facebook 的最佳貼文
同時也有4部Youtube影片，追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭，也在其Youtube影片中提到，嗨大家好，我是丈哥 今天要來繼續聊代數 不同的代數運算有可能在其本質上是相同的 這就是同構的概念 這部影片主要介紹同構的數學寫法 並且談談證明兩個代數運算是同構 以及證明兩個代數運算不同構的方式 我將參照 John B. Fraleigh 的第 7 版《A First course in Abs...
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數學證明寫法 在 辣媽英文天后 林俐 Carol Facebook 的精選貼文
感謝熱情認真的李學長，
今天要來介紹「建中科學班」！
————————————————————
科學班考試三月多就考了，獨立招生。
📍考進科學班有什麼優點？
主科老師會是比較有經驗的，幾乎沒有地雷老師。老師還會同時兼任你的專題研究老師
🔆三年不分班，會有電神互相切磋討論。
教學資源多，可以借用科學館做實驗、借競賽資料、想考數理科免修可以直接報名（普通班要7%或是老師推薦）。
數理科目進度高二就上完，要在高三去台大修課（微積分、普通物理、普通化學、普通生物四選一）。高二下須通過資格考試方能第三年取得台大修課資格，沒考過者你會拿不到科學班認證證明文件，但是不會強制將你轉班。
📍 科學班的內容會不會比較難，成績會不會不好看？
🔆 數理科的內容會比較難，老師比較少管必選修，以主題式教學為主。
某些科目段考較難，老師會調到比較高分，只要你有努力老師一定看得出來分數給的算高。文科被當在科學班會更常發生，因為我們甄選就是數理跟一階不太難的語文考試。
📍 我是一個沒有超修的國三生（注意，那是會考前），要怎麼準備考試？
🔆 初試：
語文：不用太擔心，英文國文都在會考範圍，然後Ｔ分數差距也不大。
考古題以及其相似題型有公開，建議練完，才有考過初試的機會。
同樣地，初試會有沒準備的人來考，分數的標準差較大，最後Ｔ分數大概會落在60上下，在總體人數上大約是60/350。
科學班數學考試絕大多數題都可以國中解法，但多半想不太到。不會寫不要太沮喪，其他人大部分也不會寫。如果有餘力可以學習一些高中好用的單元如三角函數，能在你想不出那些超難解法時提供一個只要花時間就可以做出來的方法。
自然科會參雜一些高中觀念，但是不太會影響到解題，計算方面則多半是國中公式在高中的延伸。可以針對考古題去對對應的高中章節進行延伸閱讀在考試時比較不會那麼慌。
🔆 複試（實驗＆證明）：
數學佔複試4成，數學會是好幾大題每題帶六七小題的形式，其中每題的前段基本上通過初試的人都做得出來，建議每題都先做完前幾小題，卡在一大題很久會造成大量的分數損失。建中沒有公布複試題目，但外縣市學校好像有，可以去找找，但難度低於建中。
物理和化學各佔複試的2成，都有筆試和實驗。
物理筆試會考一些較難的高二高三題型最難到達物理奧林匹亞初複試水平，運動學和力學佔大宗，物奧初選該部份可以在高中範圍念完後練習一下。光學和熱學出現了國中為提供的公式請先自行預習，高中的電磁學與國中難度差較多，考的比較少。
化學筆試範圍有點多且量也很多（四十幾頁），有英文文章的閱測，比起其他題這類題目只要英文能力強一點就能做了。其他題目需要高中大量觀念，而且有些觀念是常常連高中生都忽視的（像溶解）。
🔆 實驗的部分：
兩科都是以高中實驗改編而來，會有線索提供你研究步驟以及計算，在討論的部分最好能去閱讀一些高中的實驗手冊，了解格式以及重點句的寫法，不要玩器材，會被扣分，打破也會（手殘者在此）。數據做出來差強人意也要放然後再想辦法解釋，你如果捏造數據老師一定會發現，你的成績就不會太高。有些討論不會需要作完實驗，實驗做不出來趕緊寫那裡搶分！！
複試的實驗技巧很多難以以國中的能力去填補，如果有這個規劃，可以在初試後詢問你的國中理化老師是否有機會讓你在課餘時間自主訓練高中實驗。（我的國中老師蠻支持的）
生物和地科各佔複試一成，生物高機率動植物器官、滲透壓、細胞觀察。做好這三類的實驗考過機率較大。地科由於內容不多，推薦讀完高中內容，才能節省做題組前要看大量資料才能解決的窘境。
✅ 再來是學習歷程的部分，學習歷程會用到競賽、專題等東西，考上者你們跟數資班對比的優勢就在四月到七月了，趕緊選一科專心拼競賽。在開學後你們可以跟數資班拉開一段距離（但在一、兩年後就沒了ＱＱ）
✅專題研究有數學、物理、化學、生物、地科、資訊六科可以選，與你的競賽能力無關，建議去台大或中研院找個指導教授，他能帶給你大量的收穫。
專題研究高一下開始分組，高二上10月有國際科展初審，進度快者可以直接拼這個
高二下三月會有校內科展然後特優可至台北市科展然後特優可至全國科展，最後還是會回到台灣國際科展，台灣國際科展的目的就是篩選出一批國手前往美國比ISEF選上國手至少可以推薦本科系，得幾等獎會影響保送推薦範圍，請查教育部法規。
✅ 開學初會有能力競賽，以及各科奧林匹亞，能力競賽物理、化學、生物、地科限四選二初試，到了校隊培訓時資訊以外科目限選一科成為校隊。
然後有時候比競賽還是會吃天賦的，吃天賦的大小由左至右遞減大概是
數學>資訊>物理>化學>生物
但同樣也有人全部都行然後被迫上述能競四選二
最終能力競賽與奧林匹亞都會匯流到選訓營，然後決選營，而選訓營前半會推薦個本科系，成為國手後得金銀銅會影響保送推薦範圍，請查教育部法規。
✅ 科學班保送推薦人數僅佔三分之一，其餘的人最終還是會回流到學測指考。如果當初文科很爛考進來，沒拼到保送或推薦及特殊選才者很吃虧。可能會因此落入一些較差的志願。申請時如果有一個某科選訓營，加分會很賺。
✅ 再來就是要關注人才培育計畫，大概在8, 9月可以去考，有台大、清大、中研院等等各科的培育。這可以推廣到專題研究的部分，如果你對計畫裡的指導教授的研究主題感興趣的話，你可以毛遂自薦，指導教授get!
✅科學班的同儕實力很強大，有數物化生地免修的人、各科的奧林匹亞決選者與國手，跟他們一同考試時不要壓力太大。也因為這樣你永遠有奮鬥的目標，以及能幫你在課業跟競賽都走得更遠的人。
#俐媽學子經驗分享
#俐媽學子經驗分享資優班篇
#他們認真拚數理科學
#但也沒偏廢英文的學習喔
#台大明明高手輩出
數學證明寫法 在 Taipei Ethereum Meetup Facebook 的最佳解答
📜 [專欄新文章] ZKP 與智能合約的開發入門
✍️ Johnson
📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium
這篇文章將以程式碼範例，說明 Zero Knowledge Proofs 與智能合約的結合，能夠為以太坊的生態系帶來什麼創新的應用。
本文為 Tornado Cash 研究系列的 Part 2，本系列以 tornado-core 為教材，學習開發 ZKP 的應用，另兩篇為：
Part 1：Merkle Tree in JavaScript
Part 3：Tornado Cash 實例解析
Special thanks to C.C. Liang for review and enlightenment.
近十年來最強大的密碼學科技可能就是零知識證明，或稱 zk-SNARKs (zero knowledge succinct arguments of knowledge)。
zk-SNARKs 可以將某個能得出特定結果 (output) 的計算過程 (computation)，產出一個證明，而儘管計算過程可能非常耗時，這個證明卻可以快速的被驗證。
此外，零知識證明的額外特色是：你可以在不告訴對方輸入值 (input) 的情況下，證明你確實經過了某個計算過程並得到了結果。
上述來自 Vitalik’s An approximate introduction to how zk-SNARKs are possible 文章的首段，該文說是給具有 “medium level” 數學程度的人解釋 zk-SNARKs 的運作原理。（可惜我還是看不懂 QQ）
本文則是從零知識證明 (ZKP) 應用開發的角度，結合電路 (circuit) 與智能合約的程式碼來說明 ZKP 可以為既有的以太坊智能合約帶來什麼創新的突破。
基本上可以謹記兩點 ZKP 帶來的效果：
1. 擴容：鏈下計算的功能。
2. 隱私：隱藏秘密的功能。
WithoutZK.sol
首先，讓我們先來看一段沒有任何 ZKP 的智能合約：
這份合約的主軸在 process()，我們向它輸入一個秘密值 secret，經過一段計算過程後會與 answer 比對，如果驗證成功就會改寫變數 greeting 為 “answer to the ultimate question of life, the universe, and everything”。
Computation
而計算過程是一個簡單的函式：f(x) = x**2 + 6。
我們可以輕易推出秘密就是 42。
這個計算過程有很多可能的輸入值 (input) 與輸出值 (output)：
f(2) = 10
f(3) = 15
f(4) = 22
…
但是能通過驗證的只有當輸出值和我們存放在合約的資料 answer 一樣時，才會驗證成功，並執行 process 的動作。
可以看到有一個 calculate 函式，說明這份合約在鏈上進行的計算，以及 process 需要輸入參數 _secret，而我們知道合約上所有交易都是公開的，所以這個 _secret 可以輕易在 etherscan 上被看到。
從這個簡單的合約中我們看到 ZKP 可以解決的兩個痛點：鏈下計算與隱藏秘密。
Circuits
接下來我們就改寫這份合約，加入 ZKP 的電路語言 circom，使用者就能用他的 secret 在鏈下進行計算後產生一個 proof，這 proof 就不會揭露有關 secret 的資訊，同時證明了當 secret 丟入 f(x) = x**2 + 6 的計算過程後會得出 1770 的結果 (output)，把這個 proof 丟入 process 的參數中，經過 Verifier 的驗證即可執行 process 的內容。
有關電路 circuits 的環境配置，可以參考 ZKP Hello World，這裡我們就先跳過去，直接來看 circom 的程式碼：
template Square() { signal input in; signal output out; out <== in * in;}template Add() { signal input in; signal output out; out <== in + 6;}template Calculator() { signal private input secret; signal output out; component square = Square(); component add = Add(); square.in <== secret; add.in <== square.out; out <== add.out;}component main = Calculator();
這段就是 f(x) = x**2 + 6 在 circom 上的寫法，可能需要時間去感受一下。
ZK.sol
circom 寫好後，可以產生一個 Verifier.sol 的合約，這個合約會有一個函式 verifyProof，於是我們把上方的合約改寫成使用 ZKP 的樣子：
我們可以發現 ZK 合約少了 calculate 函式，顯然 f(x) = x**2 + 6 已經被我們寫到電路上了。
snarkjs
產生證明的程式碼以 javascript 寫成如下：
let { proof, publicSignals } = await groth16.fullProve(input, wasmPath, zkeyPath);
於是提交 proof 給合約，完成驗證，達到所謂鏈下計算的功能。
最後讓我們完整看一段 javascript 的單元測試，使用 snarkjs 來產生證明，對合約的 process 進行測試：
對合約來說， secret = 42 是完全不知情的，因此隱藏了秘密。
publicSignals
之前不太清楚 publicSignals 的用意，因此在這裡特別說明一下。
基本上在產生證明的同時，也會隨帶產生這個 circom 所有的 public 值，也就是 publicSignals，如下：
let { proof, publicSignals } = await groth16.fullProve(input, wasmPath, zkeyPath);
在我們的例子中 publicSignals 只有一個，就是 1770。
而 verifyProof 要輸入的參數除了 proof 之外，也要填入 public 值，簡單來說會是：
const isValid = verifyProof(proof, publicSignals);
問題來了，我們在設計應用邏輯時，當使用者要提交參數進行驗證的時候，publicSignals 會是由「使用者」填入嗎？或者是說，儘管是使用者填入，那它需不需要先經過檢查，才可以填入 verifyProof？
關鍵在於我們的合約上存有一筆資料：answer = 1770
回頭看合約上的 process 在進行 verifyProof 之前，必須要檢查 isAnswer(publicSignals[0])：
想想要是沒有檢查 isAnswer，這份合約會發生什麼事情？
我們的應用邏輯就會變得毫無意義，因為少了要驗證的答案，就只是完成計算 f(42) = 1770，那麼不論是 f(1) = 7 或 f(2) = 10，使用者都可以自己產生證明與結果，自己把 proof 和 publicSignals 填入 verifyProof 的參數中，都會通過驗證。
至此可以看出，ZKP 只有把「計算過程」抽離到鏈下的電路，計算後的結果仍需要與鏈上既有的資料進行比對與確認後，才能算是有效的應用 ZKP。
應用邏輯的開發
本文主要談到的是 zk-SNARKs 上層應用邏輯的開發，關於 ZKP 的底層邏輯如上述使用的 groth16 或其他如 plonk 是本文打算忽略掉的部分。
從上述的例子可以看到，即使我們努力用 circom 實作藏住 secret，但由於計算過程太過簡單，只有 f(x) = x**2+6，輕易就能從 answer 反推出我們的 secret 是 42，因此在應用邏輯的開發上，也必須注意 circom 的設計可能出了問題，導致私密訊息容易外洩，那儘管使用再強的 ZKP 底層邏輯，在應用邏輯上有漏洞，也沒辦法達到隱藏秘密的效果。
此外，在看 circom 的程式碼時，可以關注最後一個 template 的 private 與 public 值分別是什麼。以本文的 Calculator 為例，private 值有 secret，public 值有 out。
另外補充：
如果有個 signal input 但它不是 private input，就會被歸類為 public。
一個 circuit 至少會有一個 public，因為計算過程一定會有一個結果。
最後，在開發的過程中我會用 javascript 先實作計算過程，也可以順便產出 input.json，然後再用 circom 語言把計算過程實現，產生 proof 和 public 後，再去對照所有 public 值和 private 值，確認是不是符合電路計算後所要的結果，也就是比較 javascript 算出來的和 circom 算出來的一不一樣，如果不一樣就能確定程式碼是有 bug 的。
參考範例：https://github.com/chnejohnson/circom-playground
總結
本文的程式碼展現 ZKP 可以做到鏈下計算與隱藏秘密的功能，在真實專案中，可想而知電路的計算過程不會這麼單純。
會出現在真實專案中的計算像是 hash function，複雜一點會加入 Merkle Tree，或是電子簽章 EdDSA，於是就能產生更完整的應用如 Layer 2 擴容方案之一的 ZK Rollup，或是做到匿名交易的 Tornado Cash。
本文原始碼：https://github.com/chnejohnson/mini-zkp
下篇文章就來分享 Tornado Cash 是如何利用 ZKP 達成匿名交易的！
參考資料
概念介紹
Cryptography Playground
zk-SNARKs-Explainer
神奇的零知識證明！既能保守秘密，又讓別人信你！
認識零知識證明 — COSCUP 2019 | Youtube
應用零知識證明 — COSCUP 2020 | Youtube
ZK Rollup
動手實做零知識 — circom — Kimi
ZK-Rollup 开发经验分享 Part I — Fluidex
ZkRollup Tutorial
ZK Rollup & Optimistic Rollup — Kimi Wu | Medium
Circom
circom/TUTORIAL.md at master · iden3/circom · GitHub
ZKP Hello World
其他
深入瞭解 zk-SNARKs
瞭解神秘的 ZK-STARKs
zk-SNARKs和zk-STARKs解釋 | Binance Academy
[ZKP 讀書會] MACI
Semaphore
Zero-knowledge Virtual Machines, the Polaris License, and Vendor Lock-in | by Koh Wei Jie
Introduction & Evolution of ZK Ecosystem — YouTube
The Limitations of Privacy — Barry Whitehat — YouTube
Introduction to Zero Knowledge Proofs — Elena Nadolinski
ZKP 與智能合約的開發入門 was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.
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不同的代數運算有可能在其本質上是相同的
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我即將開設的代數課程系列
第一部影片上線了
大二的抽象代數課程主要分成群、環、體、Galois 理論
因此我也會依照這個次序進行
我將參照 John B. Fraleigh 的第 7 版《A First course in Abstract Algebra》
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這裡從二元運算說起
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☞艾莉絲‧孟若作品
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☞伊格言作品
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☞〈與上帝討價還價的後果──艾莉絲‧孟若〈柱和樑〉〉全文連結：https://www.egoyanzheng.com/single-post/2020/03/07/%E8%88%87%E4%B8%8A%E5%B8%9D%E8%A8%8E%E5%83%B9%E9%82%84%E5%83%B9%E7%9A%84%E5%BE%8C%E6%9E%9C%E2%94%80%E2%94%80%E8%89%BE%E8%8E%89%E7%B5%B2%E2%80%A7%E5%AD%9F%E8%8B%A5%E3%80%88%E6%9F%B1%E5%92%8C%E6%A8%91%E3%80%89
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#孟若 #小說 #諾貝爾文學獎
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今天的故事是諾貝爾文學獎得主艾莉絲‧孟若的短篇小說〈浮橋〉。
開始前，伊格言先為讀者打了支預防針──他說，孟若的作品向來有點「難」。
問題是，難在哪裡？
伊格言說，難在作者想傳達的主題往往非常幽微而隱秘，不甚明顯，也沒有一個固定的解答。
這種寫法很容易讓讀者如墜五里霧中，感覺困惑：這些人究竟在幹嘛？下一步要做什麼？
但這種迷霧正是孟若埋下的線索：將情感的幽微轉折，包裹壓抑在樸素而冷調的筆法之中。
以本篇小說〈浮橋〉為例，題材上是個（疑似）小三介入婚姻的故事；
但其實想討論的並非「外遇」一事，而是另有主題，偷偷躲在情節表面的巨大冰山之下。
故事講述尼爾和金妮一對夫婦，丈夫尼爾比太太金妮大16歲，但金妮得了癌症，已做過幾次化療。
她比丈夫年輕這麼多歲，所以從沒想過自己有可能會比尼爾先死。
而尼爾的職業是一名社會運動者。
在金妮眼中，尼爾幾乎處於死當邊緣──他既不事業有成，對妻子也不怎麼體貼。
舉例來說：金妮化療出院，尼爾開車去接她，陰錯陽差卻到了不太熟識的，麥特和珠恩夫婦位於玉米田中的家裡。
那是個樸實的農家，女主人珠恩盛情力邀二人入內作客。
但罹癌的病人金妮身體孱弱，不想作客，只想趕快回家。
尼爾顯然沒有體貼到這一層。他將箱型車停在屋外的空地，和金妮起了小爭執：
「可是剩了好多豆子濃湯。」珠恩說：「你們一定得進來幫忙清掉那豆子濃湯。」
金妮說：「哎，謝謝。可是我什麼都不想吃。這樣熱時我什麼都不想吃。」
「那就改喝點東西。」珠恩說：「我們有薑汁汽水、可樂。我們有桃子酒。」
「啤酒。」麥特對尼爾說：「要不要來罐藍牌？」
金妮向尼爾招手要他過她車窗來。「我沒辦法。」她說：「就跟他們講說我沒辦法。」
「你知道你會傷到他們的面子。」他低聲說：「他們是好意。」
「可是我沒辦法。不然你去好了。」
他彎身更近：「你知道若你不去會怎樣。看來會好像說你比他們尊貴許多。」
「你去。」
「你一到裡面就好了。冷氣真的會讓你舒服些。」
金妮搖頭。
從這一幕我們可以感受到夫妻間的意見不合。
再扣回尼爾的特殊身份，我們發現，尼爾是個「社運份子」，或說「社運領袖」──在新聞和歷史中，我們可以看到社運領袖拋頭顱、灑熱血，為理念奮戰；但往往無從得知這些社運領袖背後妻子的心情。
尼爾比金妮大16歲，金妮把最美好的青春歲月給了他；
他們之間顯然有愛，但尼爾沒給金妮等值的回饋──為了實現自己的政治理想，尼爾具備組織能力，善於社交，嫻熟於人際關係與應對進退；
但這樣懂得瞻前顧後、察言觀色的「世故技能」，在他們面對農家夫婦過度熱情的邀請時，反而為金妮帶來困擾。
換言之，尼爾總是在照顧「外人」，卻不怎麼顧慮自己的「內人」。
金妮終究獨自留在了戶外，沒有進屋裡去。
但她突然有了尿意──夕陽西下，彩霞滿天，她偷偷躲進玉米田裡去小解。
伊格言說了件有趣的事；他說，在小說情節中，凡是遇到小解，那麼大概百分之七十都帶有「自由」或「解放」的寓意；
此處也不例外──金妮的小解不僅是生理上的放鬆，更預告了下一刻，情感上更大的自由。
因為當她小解結束從玉米田出來後，就遇上了男主角瑞克......
─────
伊格言，小說家、詩人，《聯合文學》雜誌2010年8月號封面人物。
著有《噬夢人》、《與孤寂等輕》、《你是穿入我瞳孔的光》、《拜訪糖果阿姨》、《零地點GroundZero》、《幻事錄：伊格言的現代小說經典十六講》、《甕中人》等書。
作品已譯為多國文字，並於日本白水社、韓國Alma、中國世紀文景等出版社出版。
曾獲聯合文學小說新人獎、自由時報林榮三文學獎、吳濁流文學獎長篇小說獎、華文科幻星雲獎長篇小說獎、中央社台灣十大潛力人物等；並入圍英仕曼亞洲文學獎（Man Asian Literary Prize）、歐康納國際小說獎（Frank O'Connor International Short Story Award）、台灣文學獎長篇小說金典獎、台北國際書展大獎、華語文學傳媒大獎年度小說家等獎項。
獲選《聯合文學》雜誌「20位40歲以下最受期待的華文小說家」；著作亦曾獲《聯合文學》雜誌2010年度之書、2010、2011、2013博客來網路書店華文創作百大排行榜等殊榮。
曾任德國柏林文學協會（Literarisches Colloquium Berlin）駐會作家、香港浸會大學國際作家工作坊（IWW）訪問作家、中興大學駐校作家、成功大學駐校藝術家、元智大學駐校作家等。
Readmoo專訪1：如果在YouTube，一個小說家
https://news.readmoo.com/2020/01/07/200107-interview-with-egoyan/
Readmoo專訪2：那些關於孤寂的問題，以及......
https://news.readmoo.com/2019/03/21/190321-lonelieness/
────
小說是什麼？我認為，好的小說是一則猜想──像數學上「哥德巴赫的猜想」那樣的猜想。猜想什麼？猜想一則符號系統（於此，是文字符號系統）中的可能真理。這真理的解釋範圍或許很小，甚至有可能終究無法被證明（哥德爾的不完備定理早就告訴我們這件事）；但藝術求的從來便不是白紙黑字的嚴密證明，是我們閱讀此則猜想，從而無限逼近那則真理時的智性愉悅。如若一篇小說無法給我們這樣的智性，那麼，它就不會是最好的小說。
是之謂小說的智性。───伊格言
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數學證明寫法 在 證明証明、數學證明題在PTT/mobile01評價與討論 的推薦與評價
在數學上，證明是在一個特定的公理系統中，根據一定的規則或標準，由公理和定理推導出某些命題的過程。比起證據，數學證明一般依靠演繹推理，而不是依靠自然歸納和經驗 ... ... <看更多>
數學證明寫法 在 [線代] adjoint證明- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
請問在證明中，為什麼要在g(x)之外再定義一個h(x)呢？
得出g=h又代表什麼呢？
我猜是證出「有存在於V的y，使得對於所有存在於V的x，g(x)=<x,y>皆成立」吧，
但為什麼呢？
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.251.34.178 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1631245333.A.1E4.html
因為使所有在V的x滿足g(x)=<x,y>的y，在證明第2行就出現了，
即y=Σg(vi)vi 註：g(vi)上面的bar打不出來，
但這樣一來，g=h又是要證什麼？
是在說給定y，於V的任意x皆滿足<x,y>的函數，是唯一的嗎？沒有其他函數會符合？
如果是的話，這怎麼好像在定理的描述中沒有出現？
因為它是在說函數唯一，不是在說y唯一，
定理描述的「存在y」在第一、二行證出；「唯一的y」在倒數第一、二行證出，
好像該證的部分都證完了，不知道證存在唯一的函數是在證哪個部分？
※ 編輯: museangel (111.251.34.178 臺灣), 09/10/2021 14:01:35
我覺得有兩種狀況：
1.作者覺得前面證明太簡單就忽略直接跳到這步驟？
前面被省略的步驟，如果我來證，就會是g(x)=g(ΣAiVi)=g(Σ<x,Vi>Vi)
=Σ<x,Vi>g(Vi)=<x,Σg￣(Vi)Vi>，令y=Σg￣(Vi)Vi，
證出確實有y可使所有x滿足g(x)=<x,y>，
也就是作者一開始出發的地方。
但從這角度來看，會讓我困惑作者後來另設h(x)=<x,y>，證出g=h，要做什麼？
怎麼不在證出y存在後，直接接著證y的唯一性就好呢？
2.作者直接用定理的結論？
作者直接把待證的g(x) =<x,y>搬來用，即假定有y滿足使所有x能讓g(x)=<x,y>成立，
所以g￣(x)=<y,x>，
y=ΣAiVi=Σ<y,Vi>Vi=Σg￣(Vi)Vi，即作者一開始出發的地方。
然後另外設h(x)=<x,y>，將y用Σg￣(Vi)Vi代換等等過程，最後得出g=h，
但證出g=h是在說明有y滿足使所有x能讓g(x)=<x,y>的假定成立嗎？
感覺又找不出兩者的關聯…
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如果是我來證明，會用1的方式(扣除另設h(x)一直到h=g的部分)，
應該跟書上的寫法不一樣，
所以想了解是不是我只證y存在跟y唯一會漏證什麼定理有描述到的東西，
就算沒有漏證，也會想知道作者寫的內容是什麼…
※ 編輯: museangel (111.251.34.178 臺灣), 09/10/2021 19:17:06
因為感覺y=Σg￣(Vi)Vi不太直觀，應該是從什麼推出來再定義的？
是像前面說的2.用定理結論來直接定義的嗎？還是像1.省略了什麼步驟？
如果已定義y=Σg￣(Vi)Vi，我不需要去管y這定義怎麼來的話，
要我證明「對於任意x， g(x) = <x,y>」，則：
因已定義y=Σg￣(Vi)Vi，所以我的目標希望最後能得出g(x)=<x,Σg￣(Vi)Vi>
因x屬於V，用V的orthonormal basis來寫可寫成Σ<x,Vi>Vi，
所以g(x)=g(Σ<x,Vi>Vi)=Σ<x,Vi>g(Vi)=<x,Σg￣(Vi)Vi>=<x,y>
所以得證。
而且也依然沒有另外定義h，不知道h要做什麼...
※ 編輯: museangel (111.251.34.178 臺灣), 09/10/2021 20:47:52
{{{定義一個h(x)=<x,y>，
h(x)一開始就長成<x,y>的樣子，不像g(x)是不是能寫成<x,y>都還不確定，
即g(x)可寫成<x,y>是待證的，
設y=Σg￣(Vi)Vi，
h(Vj)=<Vj,y>=<Vj,Σg￣(Vi)Vi>=Σg￣(Vi)<Vj,Vi>=g(Vj)
1<=j<=n，所以h=g，g(x)=h(x)=<x,y>，因此g可以寫成<x,y>的形式。}}}---@0式
原本我以為我只對h理解有困難，
但我發現理解有困難的部分不單純是在另設h，還包括y用了什麼來定義，
因為「設y=Σg￣(Vi)Vi」---@1式
跟「不知道g(x)是不是能寫成<x,y>」---@2式
@1式跟@2式之間好像概念上有衝突？
如果我沒理解錯的話，@1式會這麼定義，是因為認定g(x)本來就可以寫成<x,y>的形式，
即：透過基於這個認定的一連串推導，才定義出@1式
(推導內容：y在V中所以可用orthonomal basis寫成Σ<y,Vi>Vi，
而因認定g(x)=<x,y>，故g￣(x)=<y,x>，
因此y=Σg￣(Vi)Vi，即導出y的定義)
@1式的認定就跟@2式衝突，一個是可以寫成<x,y>形式，一個是不知能否寫成<x,y>形式，
這個衝突就造成既然@1知道y可以讓g(x)就寫成<x,y>的形式，
那把@1式跟@2式的概念通通塞進@0式，
「g(x)本來就可以寫成<x,y>，所以寫出設y=Σg￣(Vi)Vi的式子」
「h(x)一開始就長成<x,y>的樣子，不像g(x)是不是能寫成<x,y>都還不確定，
即g(x)可寫成<x,y>是待證的」
變成「把待證的概念當作已知事實，去證待證概念自己是對的」這種循環論證的狀況。
我不知道我是哪裡理解出錯了，變成把@1式跟@2式塞進@0式，會有這麼奇怪的問題。
※ 編輯: museangel (111.251.22.20 臺灣), 09/11/2021 12:20:35
謝謝V大跟a大，
V大說的封殺一個方向讓我獲益良多，
我有時候會在「定義看起來有點複雜，不那麼直觀，想更清楚看懂它在說什麼」的時候，
回頭推導它的起點，然後就跟結論撞在一起，
想說「繞了一圈，我的假設怎麼變成結論了」，那我證出什麼東西呀？
今天知道了，以後會避免這種情況XD
※ 編輯: museangel (111.251.22.20 臺灣), 09/11/2021 13:41:14
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