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譚新強：中國須小心拜登設的阿富汗陷阱
文章日期：2021年8月20日

【明報專訊】美國總統拜登終於結束美國歷史上最長的阿富汗戰爭。喀布爾機場一片混亂，不禁令人記起1975年美國撤離越南西貢市時的畫面。不少人更譏笑美國再次打敗仗，拜登無能，數周前仍堅持阿富汗傀儡政府可支撑最少兩三年，經美軍訓練有素，擁有先進武器的30萬強大軍隊，更必能抵抗為數只約7萬人的「雜牌」塔利班戰士。

見到一堆可憐被出賣的阿富汗人，爭相攀上正在移動的美國軍機，起飛也死不放手，從半空掉下身亡的場景，我也感到驚訝和替他們不值。但阿富汗真是越南的翻版？美國真的是夾着尾巴敗走？拜登真的將因此而喪失政治前途？

仔細分析一下，就明白阿富汗戰爭跟越戰的分別。阿富汗戰雖長達20年，但美軍死亡人數不到2400，越戰中美軍死了近6萬。更大分別是當年有徵兵制，民怨載道，華盛頓經常出現大規模反戰示威，克林頓和小布殊等都是當年的「逃兵」。美國人被洗腦誤導攻打阿富汗和伊拉克是為911恐襲報仇，但其實與他們無關，因此從未出現大規模反戰示威，所有士兵都是自命拯救世界（或嗜血）的志願軍。

美軍20年死亡人數低過COVID 難言敗走

第二個問題，美國真的在阿富汗打敗仗？首先以人命損失來計算一下勝敗，美國折兵數目只約等如4天的COVID死亡人數，美國每年兇殺案人數都近2萬。對比下，保守估計阿富汗人民總死亡人數最少25萬，美國的100倍，包括政府軍、塔利班與平民老百姓，有估計更高達百萬！這叫做輸？

况且由小布殊到拜登，4任總統口徑都異常一致，打仗目的只為剷除蓋達組織（Al Qaeda）和找出他們認為被塔利班政府窩藏的拉登。雖然最終是在巴基斯坦找到和殺掉他（due process？），但對美國來說，阿富汗和巴基斯坦，有何分別？重點是完成任務，美國跟從前的大英帝國不一樣，不擅長搞殖民地，根本無興趣參與所謂「國家建設」。拜登亦提醒阿富汗是有名的「帝國墳墓」，十九世紀英國曾佔據但鎩羽而歸，二十世紀，蘇聯更間接因泥足深陷於此而最終瓦解，二十一世紀美國也陷入苦戰20年，亦可說因而走漏了阻擋中國崛起的機會！

最重要和最現實的是，無論從美國內部利益，或地緣政治角度考量，退出阿富汗都是明智之舉。撤軍根本是絕大多數美國人所歡迎的一個共識，連伊拉克之戰都早已結束。如拜登所說，談判是特朗普在2019年開始的，曾幾乎邀請塔利班領袖到大衛營，後因反對聲音太大而告吹，拜登自辯只是按着既定時間表執行協議。

現在很多人指摘拜登上月仍堅持美軍撤退必非常有秩序，絕不會出現當年越南的亂狀，但結果仍是歷史重演！但試想一下，即使事前CIA告訴拜登一旦撤軍，阿富汗傀儡政府必馬上倒台，拜登可以對人民講真話嗎？醜陋的事實是，既然決定出賣阿富汗政府和人民，這個謊言是必須講的。再者請留意，他從來沒說過阿富汗政府永遠不倒，只說理應暫時不倒。倒的速度真的重要嗎？其實對阿富汗人民福祉來說，11日極速變天，和平交接，幾乎不用開槍（有人取笑比美國選舉更和平），代表人心所向，是好事！ 如真的再拖兩年，即內戰繼續，更多生靈塗炭！

早前在多哈的會議，參與者包括美、中、俄、巴基斯坦、塔利班及阿富汗政府雙方，可能他們已達成如何交接的共識，包括答應讓美國人和西方盟友安全離開，甚至有傳聞塔利班答應讓總統加尼（Ashraf Ghani）帶着大量財富安全出走！

所以怎可能拜登真的對亂局感到意外？前天他被George Stephanopoulos訪問，提到近700難民擠迫在美國軍機上，以及有人從飛機掉下跌死的恐怖情景，拜登打斷問題，冷血地和坦白地回答：「但這已經是四五天前的事了！」 他似乎沒有回答問題，但其實已盡在不言中。他的意思是撤軍必混亂，些少傷亡在所難免。况且四五天前的事，已超過現今24小時的News cycle，已成為舊聞，何足掛齒？薑果然是老的辣，誰說他老人癡呆？

塔利班學會PR 助和平接管
塔利班也學會了PR形象的重要，對今次和平接管有極大幫助。塔利班似乎有點模仿愛爾蘭共和軍（IRA），分為軍事和政治兩個部分，軍事負責打仗，政治負責在多哈（和天津）談判。他們答應今次掌權，已汲取過去犯錯的經驗，變得更文明和温和，將容許女性讀書和工作，已特赦所有前政府人員和曾為西方國家服務的人。當然不少人仍不相信，所以才會出現人群湧到機場的場面。據悉，除機場出現一點混亂外，今次塔利班奪權後，確未出現大規模屠殺和報復。即使在機場控制上，原來美軍和塔利班是有協議的，似乎是美軍要求塔利班設防線，阻止大量難民湧進機場，不止塔利班曾開槍鎮壓，美軍也曾開槍「錯殺」數名逃難者。

拜登在國際方面考慮更聰明和實務。理論上，如美國能建立一個所謂西方自由民主國家，駐軍在與新疆接壤的阿富汗，確有長期牽制中國的作用，但明顯經過20年經驗，原來這是個mission impossible，長期部族內戰，才是阿富汗過百年來的歷史常態，根本從未真正統一過。再看看地圖，拜登即明白到美國控制的阿富汗，被不友善的國家：俄國、伊朗、巴基斯坦和中國等重重包圍，有如圍棋中的死棋。現在拜登可說主動放棄死棋，故意製造權力真空，如出現地區性不穩定，或反而對美國有利。

短期內，塔利班處於極有利位置，為保持和平穩定，各鄰國必爭相釋出援助之手，協助建設阿富汗。近日西方傳媒居心叵測，故意指出阿富汗擁有各種「寶貝」，包括稀土、最時尚的鋰，更可成一帶一路的下一個目的地，可建通往伊朗的輸油管！明顯目的是引誘中國捲入漩渦，誤闖此帝國墳墓。

阿富汗龍蛇混雜，塔利班本身已分為不同派系，另外仍有多個恐怖組織以此為基地，包括蓋達和伊斯蘭國（ISIS）的殘餘分子。最值得留意的是鼓吹疆獨的東突厥斯坦伊斯蘭運動（ETIM，簡稱東伊運），多年來一直被美國定性為恐怖組織，但去年美國突然剔除此標籤，司馬昭之心，路人皆知！

引中國捲入阿富汗 西方傳媒居心叵測
近日西方傳媒更為中國精心設下一個兩難抉擇陷阱。他們說中國仍不可算是真正超級強國，因為已40多年未經歷過戰爭的考驗。他們認為超級強國必須願意用武力捍衛國家安全和利益、原則和盟友安全。其中頗有可能的一個場景是，親密盟國巴基斯坦假如被日趨不穩定的阿富汗牽連，發生頻繁嚴重恐襲事件（上月已出現過），中國會否作出軍事反應？如不出兵，會否被戰略對手和甚至盟友輕視？但如出兵，後果或更嚴重，將打破過去40多年和平崛起的神話，會否因此而失去道德高地？今天的阿富汗確非1970年代的越南，但上一次中國開戰，對手正是政權剛逆轉不久的前盟國越南。

第三個問題，拜登會否因此潰裂而提早成為跛腳鴨，明年底中期選舉共和黨重掌國會控制權，2024年連任無望？現在為時尚早，誰也沒有答案。但拜登聰明之處，正是精準選擇距離中期選舉尚超過1年，總統選舉3年的今天來引爆此早晚必爆的計時炸彈。1975年西貢淪陷/解放（觀點與角度），翌年已是大選年，福特就落敗了。

拜登抽身時機精準 不損連任
拜登上任剛逾半年，其實做了不少事情。加速接種疫苗，成功通過多個刺激經濟和基建方案，當然亦不忘繼續對中國施壓（可惡）。阿富汗一事，暫時拜登看似失分，但再過一段時間，如美國僑民安全撤退，塔利班亦真的變得較温和，說不定拜登可變回英雄，甚至贏得不少早已支持撤軍的特朗普鐵粉票。

100天的傳統蜜月期已過，無可避免地民望必有所回落，正是kitchen sink所有壞消息的好時機。除阿富汗，有人認為這一浪Delta變種病毒和通脹上升，都可影響中期選舉。但每一浪疫情只維持數月，拜登亦已準備為國民打booster shot。通脹更似有見頂迹象，10年債息回落至1.3厘以下，說不定明年底大家已再次擔心衰退和通縮。

最後，大家有否留意到去年美國大選時傳聞的一段拜登次子亨特（Hunter Biden）醜聞影片，終於浮現出來。於2019年拍攝，裸體的亨特與一名俄國妓女聊天，形象已非常差，更恐怖的是蠢如豬的亨特，在片中提及在2018年，已曾被俄國毒梟偷走一台手提電腦！如這段影片在大選時出現，會有何影響？再想下愛潑斯坦（Jeffrey Epstein）的下場，何等功力才可把此醜聞拖延關鍵的9個月後才爆出來！

中環資產投資行政總裁
[譚新強 中環新譚]

是的，小伊亞還在家沒去安親班
意思就是說，我還要24小時跟她綁在一起一個月🤔😢

應該有不少家長都讓小孩去上課了吧？
這是明智之舉！
我已經開始後悔怎麼沒讓她去上課
當初老師在問怎麼那麼傻不說好😭
千金難買早知道！

這幾天要啓動寫文模式，把已經荒廢許久的寫文靈感找回來
早上打開電腦到現在，一個字也沒動
完全不知道要怎麼起頭
文章格式也還在摸索
希望寫文的感覺和動力能趕快找回來～
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譚新強：中國未能講好自己非常好的故事
文章日期：2021年7月9日

【明報專訊】過去兩周，我已詳細分析過美國現在最核心的影響力來自傳媒的近乎壟斷的優勢，正好體現數據年代的特性。非常可惜，亦非常危險地，中國似乎仍不太明白傳媒的重要，雖然經常說要講好中國的故事，但在行動上未必一致。

近日的互聯網監控風波，愈演愈烈，滴滴（美：DIDI）上市事件，是一場非常不好笑的鬧劇。真正實情，我非內幕人士，並不知曉，幸運地亦未有參與此交易。但從公開信息看到，最主要問題是滴滴竟然斗膽違命去美國上市。我同意中國重要企業不應去美國上市，但源頭問題是為何那麼多中國企業，尤其互聯網行業，喜歡到美國上市？似乎答案竟然是因為中國內地根本不喜歡、不批准他們在A股上市！主板上市條件較嚴謹，有盈利要求，所以很多增長型初創科技企業不符合要求，無可厚非。為解決此問題，因此兩年前，上海科創板應運而生，放鬆上市盈利要求，採取較靈活的註冊制，實屬明智之舉。不過，經螞蟻上市被叫停一役後，情况愈來愈明顯，原來監管者已作出一個頗令人驚訝的重要價值觀判斷，簡單來說，他們竟只認為硬件行業如半導體、再生能源和電動車等才算高科技！在他們眼中，互聯網服務行業，包括創新金融、共享經濟、新媒體等等，竟然根本不算是高科技，所以沒有資格在科創板上市！大家還記得數年前，什麼「互聯網+」概念，被捧上天的情景嗎？

滴滴和其他不少倚賴私募基金（private equity）投資的企業，都採用「可變利益實體（Variable Interest Entity，VIE）」架構，有在限時間內（一般7年）確有上市套現壓力，不少投資者為外資亦是事實，所以既然不能在中國內地上市，才會考慮去美國上市，可算是半被逼出來的困難決定。誰不知道VIE是長期灰色地帶？誰不知道中美鬥爭日趨激烈，在美國上市有隨時被制裁，被迫退市，甚至被凍結的風險？現在的說法是這些企業應選擇來香港上市，當然歡迎，但真的就可解決所有問題嗎？奇怪和不合理地，香港雖是中國一部分，但金融上仍屬境外，VIE架構問題仍然存在。內地資本帳仍受嚴控，基本上只有能進港股通名單的企業才稍有希望。當然，近年看到，連香港也逃避不了美國制裁的魔爪，老實講，甚至聯繫滙率頭上都有一把刀！

近日滴滴和其他多宗類似事件，再次引發新一輪國內外投資者恐慌，中概股和港股再次大瀉，中國股市繼續短期長期落後於美股。以我有限智慧，就無法理解此舉如何有助於講好中國本來真的很好的故事！

中國媒體力量微弱 對內外傷害巨大
中國媒體力量微弱，講不好自己的故事，對外對內（尤其香港）的傷害非常巨大，絕對不容忽視。

（1）全世界媒體被美國和西方壟斷，在新疆、香港、台灣、南海和疫情等等事件上，指鹿為馬難、隨意抹黑，嚴重增加不少國家和外國人對中國甚得民意的和平發展的誤解，反而產生嚴重偏見。如中國媒體（必須是民間獨立的才有公信力，香港仍有此空間）繼續缺乏任何話語權，不能化解誤會，無法替中國打造符合事實的好形象，那麼全球局勢必將變得愈來愈緊張，甚至逐漸走向間接或直接武裝衝突的邊緣。請緊記中美都是核武大國（雖然美國核彈數量是中國的20倍），後果堪虞！

（2）不止對外講不好自己故事，對內尤其在香港，亦有極不良後果。香港過去數年，除實質問題如房屋和經濟發展外，最重要的失敗當然正是傳媒和教育（其實也是媒體的一種）。中國內地不止經濟起飛、和平崛起，在超級大國來講，非常難得和罕有，值得表揚。近年肅貪、環保改善、人權的進步，以及整體人民素質的大幅度提升，但竟然在旁邊的香港，奇怪地很多人懵然不知，反而加深對中國的誤解。因此才會出現2019年的恐怖暴亂。

過去一年多，受到疫情影響，再加《港區國安法》和執法較嚴，整體社會總算回歸平靜，當然所謂深層次問題，仍然未曾解決，只是把不滿情緒壓得更深。7月1日的自殺式恐襲事件，當然非常恐怖，但其實不算意外。其後部分社會人士竟表達對恐怖主義的所謂同情甚至支持，當然令人更憂心，但亦是可預見之事。如不能馬上以道理、人性，以及有效教育和媒體來說服這些人，可能為數200萬以上，未來情况必變得更危險。近日被揭發的恐怖分子集團，首領竟是大學行政人員和中學教師，成員為未成年學生！看清楚教育和傳媒出了大錯的惡果了嗎？

美瘋狂抹黑華詭計 或已得逞
（3）講不好中國的故事，經濟上的損失就更加明顯了。貿易上，近年經常被美國和西方誣衊，偷、搶、抄襲、劣質、蝕本傾銷、操控貨幣、竊聽、危害國家安全，你想得出及想不出的都有。中國無法自辯，結果是貨物被無理徵收關稅，都是違反世貿（WTO）規則的，美國不是整天在講什麼國際秩序和遊戲規則的嗎？不止貿易的關稅（中國也被迫需要報復），對中國的嚴重誤解而帶來的歧視，更嚴重影響中國對外投資、收購科技企業、擴展國際市場，甚至採購重要原材料等等。

中國的融資成本亦大大提升。中國中央政府的負債率不到30%，美國已超過了100%，但不公平地，美國信貸評級仍為Aaa（穆迪）及AA+（標普），中國反而只有A1及A+。因此，美國10年債息只有1.3厘，中國CDS（信貸違約掉期）反而高美國近40點子。中國企業債的融資成本，比美國企業高更多了。股市融資成本的差距就簡直到了極端的地步，標普500指數的市盈率高達30倍，恒指只有「可憐」的12倍左右，即使較佳的滬深300指數亦只有約18倍。意思是如中國企業需要配股融資，成本近乎雙倍！融資成本高企，亦當然嚴重影響在科研方面的規模，和整個中國科技進步的速度。另一方面，中國投資者亦因此賺少很多錢，甚至蒙受巨大損失。

（4）除以上傷害外，其實我最憂心的是，美國瘋狂抹黑中國的詭計，不幸可能已得逞。美國極可能故意激怒中國，鼓起國家主義和民粹，變得不止排外，加上因疫情長期封關，已逐漸墮進圍城受困心態，甚至有點偏執狂（paranoid）。

科網龍頭企業確需要監管，防止壟斷，個人數據私隱權和國家安全當然重要，防止外資過度操控重要企業運作，影響國家利益亦有一定道理。但與如何幫助中國企業打進超重要的國際市場，不斷發展和加長賽道，增加相對美國FAAMNG之類超巨型科技企業的競爭力等考慮，作出一個最佳平衡，也是非常重要的。數年前，騰訊（0700）和阿里巴巴（9988）的市值，與Google和Amazon（美：AMZN）等，叮噹馬頭，至今連facebook（美：FB）市值都曾超過1萬億美元，已遠遠拋離所有中國企業。市值是可隨時化作收購合併、投資科研和招募人才的彈藥，互聯網各行業的網路效應極強，此全球競賽猶如600年前的航海探險年代，如再次讓西方勝出，這些行業，包括最重要的傳媒話語權，或將被這些美國資訊科技龍頭再壟斷數十年！

華勿每事與美對着幹 鬥氣墮圈套
即使中國加倍努力，要逆轉此劣勢已很不容易，但痛心的是見到內地近月最流行的所謂「內卷」和「躺平」文化。面對激烈競爭，個人層面上的放棄已非常悲哀和無奈，若出現在國家層面上，就更加要不得。中國怎可以放棄全球互聯網業務的重要國際競爭，反而只集中精神在內鬥！我明白把餅分得較平均的重要性，但絕不可以因此而忘記把餅先弄大更重要！怎可能因一棵樹而放棄整個森林？

雖然美國確實非常針對中國，但不等如美國做的每一件事都是錯的，中國更不應墮入圈套，故意鬥氣，每件事都跟美國對着幹。美國QE確帶來嚴重貧富懸殊問題，但如在2019年COVID疫情時，和2008年全球金融危機後，美國採取相反貨幣緊縮政策，後果極可能更差，有如1930年代的大蕭條，或1997年亞洲金融風暴後的通縮和大量國家破產和人民自殺甚至被屠殺的慘况。美國的確是雙重標準，令人氣憤，但不等如中國應過早收水，可以導致信貸危機。

美國放縱互聯網龍頭，facebook和Twitter（美：TWTR）等散播大量fake news，確罪孶深重，搞亂社會，甚至累死很多人，美國政府也知道，也在考慮監管，但他們亦知道這些企業對美國霸權，不止經濟，尤其控制傳媒話語權的超重要性，所以絕不會輕舉妄動。所以如中國明白此點，何堪過度打壓中國的互聯網龍頭企業？

字節跳動未來發展 具重要啟發性
似乎有些人甚至有點懷疑某些企業的忠誠度。的確差不多所有重要互聯網企業，都有不少外資參與，整體來說，這是好事，國際間互相投資和貿易，正是加深文化和經濟交流的好方法，對保持世界和平亦有很大幫助。國家安全當然非常重要，但相信大部分國際投資者的出發點純粹是賺錢，並無政治目的。流行說法是西方商界已不再如10年前般支持中國（主要是中國已成為競爭對手），但非常肯定的是華爾街仍然非常支持中國，毋須過於捕風捉影。

現在處境最尷尬，為最重要企業之一但仍未上市的字節跳動。抖音加TikTok的每月活躍用戶（MAU）多達19億，估計市值高達4500億美元，是最具潛力的中國新媒體企業。它的未來發展，對中國媒體的國際發展方向和資本市場發展，都有重要啟發性，希望能走上正確之路。

（中環資產擁有騰訊、阿里、facebook、 Apple、Amazon、Microsoft、Netflix和Alphabet的財務權益）

中環資產投資行政總裁
[譚新強 中環新譚]

杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com
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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計？
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆，便可以簡單運算？
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利，你要靠EV；而EV的計算，則涉及賠率（Odds）和機率（Probability）。一般賭局，賭率無論是固定，抑或不固定，都必定會顯示（例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等）；然而，勝負機率卻永遠隱藏。

計算機率可以非常複雜，看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的，相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單，有些連小學作業都有教。

為什麼又可以簡單？又可以複雜呢？這要由「機率是什麼」說起。

首先，機率就像重量、長度、價錢等，是一個量度值。當你想知道自己的體重，你會站在電子磅；當你想知道自己的身高，你會用尺量度；當你想知過大海船票幾貴，你會查一查價錢；而當你想知道一件事情發生的可能性，你便要計算機率。

那麼，有什麼事你會想知它的可能性呢？擲一粒骰「擲到七點」的可能性，你會想計算嗎？不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼，擲骰擲到整數的可能性，你又會想計算嗎？不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見，當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時，你不會問可能性。換言之，當你不肯定某事情是YES還是NO時，你才會想窺探可能性。

最家傳戶曉的例子，非擲毫莫屬：究竟下一回是公定字呢？

雖然機率是數學之中的一個範疇，但機率在語言之中也佔了一席位，縱使未曾學過機率，都會以「五十五十」來描述擲毫的結果，即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十（50%）。
 
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通，因為一整份是100%，各分一半自然是各佔50%，亦是兩份之中取一份，二份之一也。

分數概念對機率非常便利，將虛無飄渺的機率圖像化，轉化成「切蛋糕」的情況－－由於你深信擲公和字的可能性均等，公和字就像一對雙胞胎，要吃相同份量的蛋糕，身為父母你便得把蛋糕一分為二，一份給公，一份給字，二份之一也。

此平平無奇的「二份之一」概念，更足以延伸至更多情況：

擲一粒骰子，擲得一點的機率是多少？

由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同，它們就像六胞胎平分生日蛋糕，你把蛋糕一分為六，一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率，六份之一是也。

只要看得穿多少胞胎在分蛋糕，便能運算出機率。

雖然擲毫的機率十分顯淺，顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣，然而，由擲毫和擲骰引起的誤解，同時惹來不少人放棄了機率，甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是：

「擲公字的機率是二份之一，那麼，要是第一局己擲到了一次公，下一局將必定擲到字嗎？」

當然不是！否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎？這是天方夜譚吧。再者，若「必定」梅花間竹地出現，機率該是100%，這一點也抵觸了「二份之一」的說法。

「既然二份之一的機率，並不代表能夠預測下一局，對賭客來說又有什麼意思？」

答案很簡單，就是用來計算EV，預知定然的長遠結果。
 
明白了機率的意思和功用之後，接下來正式講解機率的3大運算方法：

1. 窮舉法（Exhaustive Method）：一次隨機事件

先前提過，基本的機率運算，是平均分蛋糕的遊戲。由此可見，「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好，這種「有幾」的問題，都只是嬰孩學「數手指」（即數數目）可以應付的問題。

由擲公字的例子起步，全部的情況有「公」和「字」，我們就這樣數：

「公……第一個；字……第二個。總共兩個。」

即問題涉及雙胞胎，將蛋糕分成兩份。

如想知擲得「公」的機率，我們又再數過：

「公……第一個。總共一個。」

可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份，二份之一也。

擲骰子亦同樣，這樣數全部的情況：

「一點……第一個；兩點……第兩個；三點……第三個；四點……第四個；五點……第五個；六點……第六個。總共六個。」

即問題涉及六胞胎，將蛋糕分成六份。

如想知擲得「雙數」（即2、4、6）的機率，我們又再數過：

「兩點……第一個；四點……第二個；六點……第三個。總共三個。」

可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份，六份之三也。
 
兩題的答案，分別是「二份之一」（ ）和「六份之三」（ ），究竟誰大誰小呢？欲比較分數，可以先將它化簡，繼續直接觀察，或者相減或相除。然而，分數的觸覺並非人皆有之，曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此，我建議採取較「平易近人」的百份率（%），換算方法是－－將分子除以分母，再乘以100，便是百份之多少，即多少%了。

機率(%)=分子÷分母×100

以上述的結果為例，先把1除2，再乘以100，得出50，即擲得公的機率為 50%；把3除以6，再乘以100，得出50，即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色，「一樣那麼可能」。

由這兩個例子得知：只要能夠準確細數可能發生的情況（我稱之為懂得數手指）便能夠計算基本的機率了。

當然，懂得數手指並不等如一定數得清，當數量太多的時候，例如打麻雀（144隻牌）一起手便食糊（又稱食天糊）的機率，逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人，的確能夠把所有可能性徹底列出，但整個過程也拖太久了吧？

因此，數數目亦應該要有聰明的方法。
 
2. 列表法（Tabulation）：兩次隨機事件

以擲骰子為例，擲一粒骰當然能夠「數手指」，因為只得6面。可是，如果擲兩粒骰呢？總有多少個可能的結果？

「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個；第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性，最終便會得知，總共有36個可能發生的結果。

列出來當然可以，但無可否認實在太煩了，而煩，亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢？
 
日常生活中，有一種表達方法，很值得參考，就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹，因此會是兩個馬匹號碼互相配搭，例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」，情形就像2粒骰的點數，「一點」加「六點」。

由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下：

每一格分別代表一個情況，例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點，綠色的骰子三點」。 由此可見，擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之，將蛋糕切成36份。

如問擲得總點數為10的機率，使用「馬經作圖法」答案一目了然：

非常明顯，共有3個格子，是兩骰點數相加為十（分別是(4,6)、(5,5)和(6,4)）因此這三十六胞胎，現在有三胞胎說要吃蛋糕了，在「36份之」中吃了「3」份，答案是「36份之3」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）

值得留意的是，這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方：

試想想，現有6張卡，分別畫了骰子的6面，現在你隨機抽取兩張，請問2張卡的點數相加為十的機率是多少？

很多人會照舊作答「36份之3」，原因是問題只是將骰子變成卡片，情況不甚改變，而且，使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表：

可惜這是錯的，答案錯，列表也是錯的，錯在算少了一著：擲骰子可以擲到相同數字，例如2粒骰都是一點，但抽卡並不能抽到相同數字呢！卡片只得1張，你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此，列表應修正如下：

灰色代表根本不可能發生的情況，即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表，蛋糕應平分為30份，而不是36份。符合相加為十的結果，亦不是3個，而是2個，因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此，修正後的答案為「30份之2」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）
 
3. 樹狀圖（Tree Diagram）：兩次或以上隨機事件

雖然列表可以將可能性整齊地列出來，但列表也有它的局限之處，就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件，則要靠樹狀圖了。

以擲毫為例，如連擲三枚硬幣，擲得至少一次公的話，你便可以獲得8000元，這個遊戲值得花5000元去玩嗎？

首先，你得知道勝出這賭局的機率，即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件，因此無法使用列表法，非用樹狀圖不可：

樹狀圖就像旅行路線圖，每一條路都是一個行程，每一個行程就是每一個可能性，不妨逐個寫出來看看：

由圖所示，這年遊戲總共有8個結局，而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金，由此使用「分蛋糕」概念，你勝出遊戲的機率是8份之7，換算成百分率，即87.5%。

賠率則這樣計算：以5000元當作1注，如得勝則淨贏3000元，即贏3000÷5000注，又即0.6注。因此，你若參與這個賭局，你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%，是一個正數。長賭下去，你將會獲取40%的純利，當然值得參與賭局。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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