【從科氏力來談跑步的擺臂與擺腿】
"Pose Method of Triathlon Techniques"的第16章談到科氏力(Coriolis force)，論述得很精彩，利用圖片把部分譯稿整理出來分享：
我們都曾看過花式溜冰選手跳躍旋轉的動作(圖16.4)，動作上有許多的變化，但相同的是這些旋轉動作大都是透過手臂(有時是騰空腿)來啟動。花式溜冰選手在旋轉前會先把手臂向外延伸，接著利用擺臂使身體旋轉，下一個加速轉動技巧則是收回手臂靠近身體，此時轉動速度會因為旋轉半徑縮短立刻急劇加快。這是運動選手中運用科氏力最經典的範例。
接著我們來看科氏力是如何運用到跑步運動中。想像一下跑步時把手臂和雙腿刻意向身體外延伸，手肘和膝蓋都不能彎，此時每跑一步手掌都會畫過一個很大的弧線，前腿向前跨大步時，後腿也會同時被留在身體後方，就像一條腿尾巴似的。所以跑步時若四肢都保持伸直狀態，擺動的範圍會變大，擺動的速度也會變慢，這會使你在跑步時更耗費體能。
現在邊跑邊把手腳收回來，使它們在擺動的過程中盡量靠近身體，你立刻就會發現擺動的速度變快了。這就像花式溜冰選手把手腳收回身體就能加速轉動一樣，跑者也是利用同樣的原理來加速擺動。收回手腳的動作不只能加快跑者的擺腿與擺臂動作，也能節省體力的消耗。妥善運用科氏力可以節省肌肉的力氣，所以感覺起來可以跑得更輕快……
用物理公式來解釋這個現象：
→角動量=轉動慣量×角速度(用公式表述為L=I×ω)
→轉動慣量=Σmr2
→L=(Σmr2)×ω
轉動中的角動量會守恆，也就是L不會變，所以當轉動慣量(I)變小時，旋轉的速度(ω)就會加快。
在運動的過程中，身體的質量幾乎不會改變，唯一會改變的是轉動的半徑，當半徑一改變，轉動慣量就會變小。以跑步來說，轉動半徑是指擺盪腿的腳掌到臀部的距離。跑者若想提升腿部擺動的速度，由於腿部的質量無法改變，所以只能透過縮短半徑(也就是腳掌和臀部之間的距離)。這項知識可以從三個方面來提升跑步動作的效率：
1)支撐期：此時你的整個身體繞著支撐腳向前轉動，盡快彎屈騰空腿的膝蓋而且盡量維持在彎屈的姿勢(關鍵跑姿）有助於提升身體向前轉動的速度。
2)擺盪期：想要加快腳掌在臀部下方擺盪的速度，並不需要主動向前用力擺腿，只需要從地面拉起腳掌使膝蓋彎屈即可。收腿時，擺盪半徑變短，所以腿部肌肉不用主動用力向前，擺盪的速度也會自己變快。技術優秀的跑者不會主動向前抬膝，或刻意用力擺腿，他們只是單純把腳掌往臀部拉，腳掌就會因為科氏力自動回到臀部下方(也就是姿勢跑法要求跑者必須盡快進入的「關鍵跑姿」)。
3)擺臂：手臂彎曲能縮短擺動半徑，半徑縮短轉動慣量也跟著變小，也就是說手掌盡量靠近身體擺動會比較輕鬆，但同時也要注意手肘與手臂不能太過緊繃。這也是為什麼所有菁英跑者的手掌都要這麼靠近身體的緣故，因為手臂擺動的速度才能以最少的能量跟上步頻。
利用這點物理知識也許就能幫你突破個人最佳成績。大家必須瞭解：藉由縮短擺動半徑這一個簡單的動作，就能減少體力的內耗，更省體力的好處就是提升整體跑步的效率。
曲率半徑公式 在 Re: [其他] TC題(20)(21)(22) 雜題- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
: Problem 20
: 原本搞出了曲率半徑 R
: (G0, G1, G2 在切點處的曲率半徑皆相同)
: 但那個太誇張了 只好把 R 的條件直接寫出來
: 結果又變的太容易了qw q
單純想談曲率半徑XD
其實高中物理意外(又不意外)地能把二次曲線的曲率半徑算得很清楚。
最基本的式子就是：法線加速度 = 向「心」加速度 = v^2/曲率半徑。
這個心是曲率中心－－曲率圓的圓心。
先說說拋物線。
高中物理接觸到的拋物線有兩類：
1. 拋體軌跡。
2. 拋物面鏡。
從拋體軌跡方程式 y = x*tanθ - g*x^2/2(v*cosθ)^2 能看出
頂點的曲率半徑 = 速率^2/法線加速度量值 = 領導係數的倒數的絕對值的一半。
所以 4c(y-k) = (x-h)^2 這種拋物線的頂點處的曲率半徑就是 2|c|。
這個事實也可以從拋物面鏡看出來，畢竟拋物面鏡的球面鏡近似，
其球心正好在主軸上與頂點相距兩倍焦距處。
其他點的曲率半徑，一樣可以透過軌跡方程做出來，
切線方向要利用速度的時間函數式來決定。
再來說到橢圓，主要只看頂點處的曲率半徑。
一般的切線方向比較麻煩一點，但透過伸縮變換，
可以從圓的切線做出橢圓的切線。
物理課上最有名的橢圓當然就是克卜勒第一定律了。
記太陽質量與行星質量各為 M, m，
已知近日距 r 和遠日距 R 的話，總力學能 = -GMm/(r+R) = -GMm/長軸長。
從此可以計算出近日點的行星速率 = √2GM(1/r - 1/(r+R))，
一樣利用法線加速度的公式，
近日點處的曲率半徑 = 2GM(1/r - 1/(r+R))/(GM/r^2) = 2Rr/(r+R)，
這正是 半短軸長^2/半長軸長 這條公式。
另外短軸端點的曲率半徑也可以類似地計算，得 半長軸長^2/半短軸長。
最後的雙曲線比較尷尬一點，
畢竟物理課上比較算是有用到雙曲線的地方在點波源的干涉圖形。
但是這並不容易與彎曲聯想在一起。
所以此處用了一個類克卜勒定律：有些星球的軌跡會是雙曲線。
質量 m 的星體近日距是 d，此時速率為 v，飛到遠處時以等速 u 運動。
因此力學能 = 0.5mu^2 = 0.5mv^2 - GMm/d，
整理得 v^2 - u^2 = 2GM/d。
另外根據角動量守恆，星體遠離的直線與太陽之間的距離(半共軛軸長b) = vd/u。
採用慣用記號：焦距c、半貫軸長a。
可以列出方程：c-a = d, c^2-a^2 = b^2。
解得 a = (b^2-d^2)/2d = (v^2-u^2)d/2u^2 = GM/u^2。
則頂點處的曲率半徑 = v^2/(GM/d^2) = (vd/u)^2/a = b^2/a。
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雖然打了這麼多，不過只要有光學性質和一點極限的概念，
頂點處的曲率半徑都能簡單求得。
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