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在期望值硬幣這個產品中，有21篇Facebook貼文，粉絲數超過4,466的網紅賭Sir（杜氏數學），也在其Facebook貼文中提到， 凱利公式喺高級賭徒的世界大名鼎鼎，咁到底咩係凱利公式呢？⁣ ⁣ 先問你一個問題，如果你眼前有一個簡單 1 賠 1 嘅公平賭局， 而你可以重覆參與幾多次都得 ，你有$100，你會點賭？⚖️⁣ ⁣ 如果你係冒險主義， 每一次都100%全押注All-in所有金錢，雖然贏嘅話次次都立即翻倍💰；但一輸就會立即...
　同時也有2部Youtube影片，追蹤數超過8萬的網紅賭Sir【杜氏數學】HermanToMath，也在其Youtube影片中提到，杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com ---------- Title: 被莊家永遠隱藏的機率原來很易計？ ---------- Subtitle: 一張凳、一本簿、一枝筆，便可以簡單運算？ ---------- Script: 要知道某投注方法會否為你...

「期望值硬幣」的推薦目錄：


期望值硬幣 在 賭Sir（杜氏數學） Facebook 的最讚貼文

賭Sir（杜氏數學） By 賭Sir（杜氏數學）

2021-08-31 21:00:31 有 30 人按讚
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凱利公式喺高級賭徒的世界大名鼎鼎，咁到底咩係凱利公式呢？⁣
⁣
先問你一個問題，如果你眼前有一個簡單 1 賠 1 嘅公平賭局， 而你可以重覆參與幾多次都得 ，你有$100，你會點賭？⚖️⁣
⁣
如果你係冒險主義， 每一次都100%全押注All-in所有金錢，雖然贏嘅話次次都立即翻倍💰；但一輸就會立即變零，一無所有💸⁣
⁣
如果你係保守主義，謹慎地每次下注$1，贏就賺$1 ，輸就蝕$1， 小朋友玩泥沙，咁嘥時間不如正正經經打份工好過😫⁣
⁣
全押注太多，賺$1又太少，咁應該投入幾高比例呢？ 作為高級賭徒，你一定要識凱利公式(Kelly Formula)📌⁣
——————————————⁣
🧮 凱利公式係一條可應用喺多次隨機賭博遊戲嘅公式，令到資金的期望值最高⁣
⁣
🌟 f* =（bp-q）/ b 🌟⁣
⁣
f* = 應投注的資本比值⁣
p = 獲勝的概率（也就是拋硬幣正面的概率）⁣
q = 失敗的概率，即 1 – p（也就是硬幣反面的概率）⁣
b = 純利率（也就是一賠１的１）⁣
公式上面的分子 bp-q 代表「贏面」⁣
⁣
———————————————⁣
例子：一局遊戲，贏的概率 p、輸的概率q 都為 0.5⁣
贏就一賠１，所以純利率＝1⁣
⁣
👉(bp – q) / b = (1 * 0.5 – 0.5) / 1 ⁣
👉= 0%⁣
❗拿出資金的 0% 進行下注，已經能夠使賭局收益最大化。⁣
⁣
⚖️ 即係話，原來就算賭局係公平嘅，根據數學都唔值得押注任何金錢。更何況，世界上大部分賭局都對玩家唔 fair 嘅，可想而之，連 fair 都唔值得賭，更何況係唔 fair 嘅呢？ 大家有睇過賭 Sir 嘅 Youtube Channel 就知道喇，所以大家切勿沉迷賭博啊❗⁣
⁣
———————————————⁣
🎲賭Sir｜高階數學考試專家⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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🎓21 項數學公開試．以一 Take 過考取完美戰績⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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DSE：Math+M1+M2【5**】⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
CE & AL：Math+A.Math+Pure+Applied【A】⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
IAL：C12+C34+F1+F2+F3+M1+M2+M3+S1+S2+S3+D1【A】⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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🖥最高人氣補習網紅・貼地教數別樹一格⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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頻道 #杜氏數學 2016年創辦，訂閱65,000+，多條教學影片點擊100,000+；2018年獲出版社邀請，撰寫暢銷書《5**數學男人嫁得過》推廣「聰明應試」理念，並鼓勵年青人堅守自信。⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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🧠以心理學、高效學習融入補習教育當中⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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從中文大學風險管理學士畢業之後，鑽研超速學習法（Ultralearning）及教育心理學，將高效學方法先行用於自己身上，無間斷學習新知識；四年後重返校園，完成中文大學數學碩士（大數據分析）課程，期間考入門薩學會（Mensa），實證超速學習法。⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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🏆座右銘⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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好多人以為自己因為對數學無興趣，所以數學低分；事實剛好相反：因為自己數學低分，所以對數學無興趣。試諗下，若然你有歌神嘅聲線，你仲會對唱歌無興趣嗎？⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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#健身 #健心 #健生 #健腦 #數學#DSE #dser #math #maths#afterschool #dsemath #examskills#mathtutor #followme #2022DSE#2023DSE #2024DSE #tutor#mathtutor #DSEfighter #tutotial ⁣⁣⁣⁣⁣⁣

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賭Sir（杜氏數學）

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賭Sir考試戰績: (全部1 take過奪得) Ａ ── 會考 Math 數學 Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學 Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學 Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學 5** ── DSE Math 數學 5** ── DSE 數學延伸部分(一) 5** ── DSE 數學延伸部分(二) Ａ ── IAL Core Math 1 2 Ａ ── IAL Core Math 3 4 Ａ ── IAL Further Pure Math 1 Ａ ── IAL Further Pure Math 2 Ａ ── IAL Further Pure Math 3 Ａ ── IAL Mechanics 1 Ａ ── IAL Mechanics 2 Ａ ── IAL Mechanics 3 Ａ ── IAL Statistics 1 Ａ ── IAL Statistics 2 Ａ ── IAL Statistics 3 Ａ ── IAL Decision 1 9 ── IGCSE Math 9 ── IGCSE Further Pure Math
賭Sir是一位香港的作家，共出版了5本以粵語撰寫的書籍。同時，經營YouTube頻道「杜氏數學」（Herman To Math），題材主要包括賭博數學和DSE數學。
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期望值硬幣 在 李傑老師 Facebook 的最佳貼文

李傑老師 By 李傑老師

2021-07-11 17:32:41 有 81 人按讚
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110指考數學重點來嘍🙂

~~數甲部份~~

1.極限的求法(重要)/無窮等比求和

2.圖形/極值(重要)/根的個數/切線問題(重要)

3.定積分的幾何意義/微積分基本定理(重要)/面積

4三角函數圖形/疊合與極值(重要)

5.複數乘除與旋轉(重要)/隸美佛定理(重要)/n次方根

6.期望值(重要)/獨立事件(重要)/二項分配(重要)

7.共線理論/內積與應用(夾角/面積)(重要）

8.外積/面積/體積(重要)

9.空間中平面與直線關係/夾角/平行/垂直/交點/距離(重要)

10.三元一次方程組的解 與幾何意義

11.二階變換(旋轉/鏡射/伸縮/推移)(重要)/馬可夫鏈

12.指對數圖形/不等式/首尾數(重要)

13.有理根檢定/插值多項式/勘根(重要)/虛根成双(重要)

14.直線與圓的位置關係(重要)/圓的切線問題

~~數乙部分~~

1.勘根(重要)/插值法/虛根成双(重要)/有理根檢定/餘式假設法(重要)

2.指對數圖形(重要)/不等式/首尾數(重要)

3排容原理/同物排列/分組分堆(重要)/二項式定理

4.硬幣/骰子/數字的古典機率問題 /條件機率(重要)/貝士定理(重要)

5.期望值/獨立事件/二項分佈/信賴區間(本章重要)

6.線性規劃(應用題)(重要)

7.共線理論/內積(重要)/正射影/距離 /夾角/面積(重要)

8.矩陣的乘法/反距陣(重要)/馬可夫鏈(重要)

9.極限問題(分式/根式/指數)/無窮等比求和(重要)

10.二次函數求極值(應用)/高次不等式

採穩紥穩 打策略 慢慢來不要急

要看清題意 避免粗心 一定要檢查

如果不會有拉肚子困擾

考前喝半杯可樂 有助解題噢

祝大家 考試順利♥

Gooooooood luuucccck!

(本文歡迎分享 感恩🙏)

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李傑老師

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頭髮依然茂盛(？)，企圖想抓住青春尾巴而努力成為科技阿伯的一位數學教師
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期望值硬幣 在 Facebook 的最佳解答

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2021-06-15 13:21:20 有 24 人按讚
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賭客永遠希望自己有最幸運硬幣，能夠一次抓到大獎（暴利）
但是賭場經營者計算的是「期望值」，樸實無華的累積獲利。
你可以想一下這兩者之間的差異。
你有沒有曾經期待自己建立一筆「神奇的交易」?

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期望值硬幣 在 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath Youtube 的精選貼文

賭Sir【杜氏數學】HermanToMath By 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath

2018-03-15 21:00:06 有 39,650 人看過 有 264 人喜歡
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杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com
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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計？
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆，便可以簡單運算？
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利，你要靠EV；而EV的計算，則涉及賠率（Odds）和機率（Probability）。一般賭局，賭率無論是固定，抑或不固定，都必定會顯示（例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等）；然而，勝負機率卻永遠隱藏。

計算機率可以非常複雜，看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的，相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單，有些連小學作業都有教。

為什麼又可以簡單？又可以複雜呢？這要由「機率是什麼」說起。

首先，機率就像重量、長度、價錢等，是一個量度值。當你想知道自己的體重，你會站在電子磅；當你想知道自己的身高，你會用尺量度；當你想知過大海船票幾貴，你會查一查價錢；而當你想知道一件事情發生的可能性，你便要計算機率。

那麼，有什麼事你會想知它的可能性呢？擲一粒骰「擲到七點」的可能性，你會想計算嗎？不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼，擲骰擲到整數的可能性，你又會想計算嗎？不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見，當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時，你不會問可能性。換言之，當你不肯定某事情是YES還是NO時，你才會想窺探可能性。

最家傳戶曉的例子，非擲毫莫屬：究竟下一回是公定字呢？

雖然機率是數學之中的一個範疇，但機率在語言之中也佔了一席位，縱使未曾學過機率，都會以「五十五十」來描述擲毫的結果，即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十（50%）。
 
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通，因為一整份是100%，各分一半自然是各佔50%，亦是兩份之中取一份，二份之一也。

分數概念對機率非常便利，將虛無飄渺的機率圖像化，轉化成「切蛋糕」的情況－－由於你深信擲公和字的可能性均等，公和字就像一對雙胞胎，要吃相同份量的蛋糕，身為父母你便得把蛋糕一分為二，一份給公，一份給字，二份之一也。

此平平無奇的「二份之一」概念，更足以延伸至更多情況：

擲一粒骰子，擲得一點的機率是多少？

由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同，它們就像六胞胎平分生日蛋糕，你把蛋糕一分為六，一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率，六份之一是也。

只要看得穿多少胞胎在分蛋糕，便能運算出機率。

雖然擲毫的機率十分顯淺，顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣，然而，由擲毫和擲骰引起的誤解，同時惹來不少人放棄了機率，甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是：

「擲公字的機率是二份之一，那麼，要是第一局己擲到了一次公，下一局將必定擲到字嗎？」

當然不是！否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎？這是天方夜譚吧。再者，若「必定」梅花間竹地出現，機率該是100%，這一點也抵觸了「二份之一」的說法。

「既然二份之一的機率，並不代表能夠預測下一局，對賭客來說又有什麼意思？」

答案很簡單，就是用來計算EV，預知定然的長遠結果。
 
明白了機率的意思和功用之後，接下來正式講解機率的3大運算方法：

1. 窮舉法（Exhaustive Method）：一次隨機事件

先前提過，基本的機率運算，是平均分蛋糕的遊戲。由此可見，「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好，這種「有幾」的問題，都只是嬰孩學「數手指」（即數數目）可以應付的問題。

由擲公字的例子起步，全部的情況有「公」和「字」，我們就這樣數：

「公……第一個；字……第二個。總共兩個。」

即問題涉及雙胞胎，將蛋糕分成兩份。

如想知擲得「公」的機率，我們又再數過：

「公……第一個。總共一個。」

可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份，二份之一也。

擲骰子亦同樣，這樣數全部的情況：

「一點……第一個；兩點……第兩個；三點……第三個；四點……第四個；五點……第五個；六點……第六個。總共六個。」

即問題涉及六胞胎，將蛋糕分成六份。

如想知擲得「雙數」（即2、4、6）的機率，我們又再數過：

「兩點……第一個；四點……第二個；六點……第三個。總共三個。」

可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份，六份之三也。
 
兩題的答案，分別是「二份之一」（ ）和「六份之三」（ ），究竟誰大誰小呢？欲比較分數，可以先將它化簡，繼續直接觀察，或者相減或相除。然而，分數的觸覺並非人皆有之，曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此，我建議採取較「平易近人」的百份率（%），換算方法是－－將分子除以分母，再乘以100，便是百份之多少，即多少%了。

機率(%)=分子÷分母×100

以上述的結果為例，先把1除2，再乘以100，得出50，即擲得公的機率為 50%；把3除以6，再乘以100，得出50，即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色，「一樣那麼可能」。

由這兩個例子得知：只要能夠準確細數可能發生的情況（我稱之為懂得數手指）便能夠計算基本的機率了。

當然，懂得數手指並不等如一定數得清，當數量太多的時候，例如打麻雀（144隻牌）一起手便食糊（又稱食天糊）的機率，逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人，的確能夠把所有可能性徹底列出，但整個過程也拖太久了吧？

因此，數數目亦應該要有聰明的方法。
 
2. 列表法（Tabulation）：兩次隨機事件

以擲骰子為例，擲一粒骰當然能夠「數手指」，因為只得6面。可是，如果擲兩粒骰呢？總有多少個可能的結果？

「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個；第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性，最終便會得知，總共有36個可能發生的結果。

列出來當然可以，但無可否認實在太煩了，而煩，亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢？
 
日常生活中，有一種表達方法，很值得參考，就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹，因此會是兩個馬匹號碼互相配搭，例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」，情形就像2粒骰的點數，「一點」加「六點」。

由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下：

每一格分別代表一個情況，例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點，綠色的骰子三點」。 由此可見，擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之，將蛋糕切成36份。

如問擲得總點數為10的機率，使用「馬經作圖法」答案一目了然：

非常明顯，共有3個格子，是兩骰點數相加為十（分別是(4,6)、(5,5)和(6,4)）因此這三十六胞胎，現在有三胞胎說要吃蛋糕了，在「36份之」中吃了「3」份，答案是「36份之3」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）

值得留意的是，這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方：

試想想，現有6張卡，分別畫了骰子的6面，現在你隨機抽取兩張，請問2張卡的點數相加為十的機率是多少？

很多人會照舊作答「36份之3」，原因是問題只是將骰子變成卡片，情況不甚改變，而且，使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表：

可惜這是錯的，答案錯，列表也是錯的，錯在算少了一著：擲骰子可以擲到相同數字，例如2粒骰都是一點，但抽卡並不能抽到相同數字呢！卡片只得1張，你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此，列表應修正如下：

灰色代表根本不可能發生的情況，即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表，蛋糕應平分為30份，而不是36份。符合相加為十的結果，亦不是3個，而是2個，因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此，修正後的答案為「30份之2」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）
 
3. 樹狀圖（Tree Diagram）：兩次或以上隨機事件

雖然列表可以將可能性整齊地列出來，但列表也有它的局限之處，就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件，則要靠樹狀圖了。

以擲毫為例，如連擲三枚硬幣，擲得至少一次公的話，你便可以獲得8000元，這個遊戲值得花5000元去玩嗎？

首先，你得知道勝出這賭局的機率，即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件，因此無法使用列表法，非用樹狀圖不可：

樹狀圖就像旅行路線圖，每一條路都是一個行程，每一個行程就是每一個可能性，不妨逐個寫出來看看：

由圖所示，這年遊戲總共有8個結局，而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金，由此使用「分蛋糕」概念，你勝出遊戲的機率是8份之7，換算成百分率，即87.5%。

賠率則這樣計算：以5000元當作1注，如得勝則淨贏3000元，即贏3000÷5000注，又即0.6注。因此，你若參與這個賭局，你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%，是一個正數。長賭下去，你將會獲取40%的純利，當然值得參與賭局。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo

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賭Sir【杜氏數學】HermanToMath

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期望值硬幣 在 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath Youtube 的最佳貼文

賭Sir【杜氏數學】HermanToMath By 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath

2017-12-22 21:00:03 有 58,826 人看過 有 554 人喜歡
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賭Sir 幫你急救 DSE 數學： https://HermanToMath.skx.io
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?️賭Sir是杜氏數學Herman To Math的始創人
?全港唯一「完爆」【DSE Core+M1+M2】、【IAL 12科Maths】、【AL Pure+Applied】、【CE Maths+A.Maths】的數學導師
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?著作：《YouTuber新手到網紅》、《5**數學男人嫁得過》、《碌葛男人嫁得過》、《賭波男人嫁得過》(獲Google嚴選2018年度50大最佳書籍)
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杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com
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Title:
賭博無數計？定係唔識計？
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Sub-title:
為何賭仔需要運氣，但大莊家永無倒霉？
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Script:
有兩種賭客，會否定數學提升賭博利潤的功能：

第一種人，認為賭局隨機，數學無法預測，計數只是計死數，故弄玄虛；

第二種人，甚至進一步認為賭博是邪門偏門，講運氣，超出科學的研究範圍。

有數學家批評這兩種人想法膚淺，缺乏數學觸覺，對於這一點，我並不同意。

樂觀地看：第一種人看得出賭博隨機的性質，第二種人看得出賭博可以受控制的性質，而這兩種性質正是賭博數學入門的基石。所以，當這兩種人有朝一日開竅了，便有能力理解賭博數學，繼而於賭局減少虧損，甚至穩定掏利。他們之所以不相信數學的賺錢功能，只是因為看漏了以下一點而已：

「隨機的遊戲，長期會變成定然的事實。」

舉例說，歐式輪盤有0至36共37個號碼，因此開出0的機率是 ，亦即2.70%。雖然下一局攪出的號碼是隨機，但長期來說，總共會有非常接近、甚至恰好有2.70%的賭局，會開出0這個號碼。

現以Microsoft Excel做一個電腦實驗……

這就是大數法則（Law of Large Number）。

再以擲毫為例，從另一個觀點切入解說：假設你認為手上的一枚硬幣沒有被動手腳。當你不斷隨意擲這枚硬幣時，你發現有超過99%的局數，均是擲到正面朝天。這個時候，一般人都會開始懷疑這枚硬幣有沒有被人動手腳。由此可見，其實一般人於骨子裏都已經有這個sense——對於一枚「正常」的硬幣，長遠來說，擲出正面和反面的次數，應該是不相伯仲才對的，否則你也不會認為硬幣沒有被動手腳。因此，其實誰人心裏都明白：隨機的遊戲，長期都會有一定的確定性。
 
明白大數法則，就會明白賭博何以能夠成為事業——因為，長遠來說，賭局賽果的的確確是一件確定的事情！就好像購入每本$10的二手書，再以每本$50出售，確確實實地賺取$40，獲得穩定收入。

這也是莊家必勝、賭場不朽的原因——長遠來說，每一張賭枱都確確實實地賺取固定的盈利率。以輪盤（Roulette）為例，明明有37個號碼，賠率卻只有1賠35，根據大數法則，長遠來說，賭枱有2.70%的賭局開出0號，即是有2.70%的賭局賠35注，而有97.3%的賭局殺1注。

莊家賺：
莊家蝕：
因此，長遠來說，莊家穩定地淨賺：

現回到電腦實驗覆核這個數字……

莊家贏錢，另一邊廂，也就代表賭客輸錢了。賭客長賭的話，便會淨蝕2.8%。這個數字又稱作「EV」。

莊家的
賭客的

明白大數法則，便可解答標題的問題——為何賭仔需要運氣，但大莊家永無倒霉？

因為賭局規則本來就有利莊家，只要時間夠長（賭客多、局數多）便可以鎖定盈利率；相反，賭客面對不利規則，就如賽跑後十米起步、踢足球打少個、格鬥讓雙拳，求勝自然需要運氣，方可求短期內有所突破。

回應文章開首提到的第一種人：賭局的確是隨機，數學的確無法預測下一局開什麼，但並不代表數學無用，因為數學計算的並非任何一局之賽果，而是長期盈虧。

賭場把注意力放於賭局的長期盈虧（EV），而一般賭客卻把重心放於眼前的短期賺蝕。諷刺的是，不擅計算的賭客只顧短期利益，卻會長期賭博，最終落入賭場的計算範圍以內。隨機遊戲，卻得到確然的下場。
 
至於文章開首的第二種人，則無法一概而論。科學無法確立邪門之說，也無法否定之。大數法則能夠提供的忠告是：要是偏門之說真的能夠提升賭客的贏面、令賭客的EV由負變正的話，根據大數定律，該偏門方法應該會使你「長期」輸少贏多，只有長期如此，該方法才值得採用，否則難逃誤信僥倖之說。

由此，不論是第一種人，抑或第二種人，想跨過賭博數學的門檻，便要由「奢望預知下一局賽果」改為「爭取長期穩定收入」，思考如何提升賭局「EV」，使其由負數變成正數，仿如你與賭場交換角色，乘著大數法則賺取長期穩定利潤。
----------
杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo

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期望值硬幣 在 Re: [問題] 硬幣問題連續兩次正面的期望值- 看板Statistics 的推薦與評價


作者chrisjon (恬靜悠閒)
看板Statistics
標題Re: [問題] 硬幣問題 連續兩次正面的期望值
時間Tue Feb 19 14:11:00 2008

※ 引述《kuoll (N Ｉ》之銘言：
: ※ 引述《kuoll (N Ｉ》之銘言：
: : 投擲一公正硬幣 直到出現連續兩次正面為止
: : 求投擲次數的期望值？
: : 這是小弟我做到的某個考古題
: : 答案是6次
: : 但是參考書的解法看不太懂
: : 請教各位板友這題該怎麼解？
: : 謝謝！
: 補上參考書的解答算式
: ======================================
: 令N(k)為連續k次正面之平均投擲次數
: p為正面機率 1-p為反面機率 (公正硬幣 故p=1/2)
: 則 N(k) = p*( N(k-1) + 1 ) + (1-p)*( N(k-1) + 1 + N(k) )
: => pN(k) = N(k-1) + 1
: 且N(0)=0 由遞迴式可得N(1)=2 N(2)=6
: ======================================
: 我的疑惑是第三行 不知道是怎麼列的
: 麻煩板友指導了 謝謝^^
看不太懂，不過突然想起之前老師教的

連續 1 次成功 Geo(1/2) (+,-)
連續 2 次成功 Geo(1/4) (++,+-,-+,--)
連續 3 次成功 Geo(1/8) …

連續2次成功的機率就是Geo(1/4)
但是在連續2次成功前，一定會經歷只有一次成功
所以連續兩次成功的期望值為
E(Z) = E(X+Y) = 2 + 4 = 6
其中，X~Geo(1/2)
Y~Geo(1/4)

所以如果求連續三次成功的期望值 = 14

--
應該是這樣o.o

--
要常玩BG
頭腦才不會退化

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 163.25.135.136
推 recluse2002:BG是指啥 02/19 16:21
→ chrisjon:桌上遊戲 02/19 16:39
推 kuoll:感謝指教:p 02/19 16:49






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2. 若果真發生，會得到的報酬或遭受的損失是多少？ 因此，期望值的計算方式就是. 機率. 同樣用投擲硬幣的例子，. 假如你有一次投擲硬幣的機會，.

#77. 如何找出劣幣?

首先將27枚硬幣均分成A,B,C 三. 堆, 每一堆都含有9枚, 再按下面三個步驟就 ... 取a 與b 兩枚硬幣秤第四次: 如果平衡, 則 ... 自然應該考慮期望值, 將−log2 pk 乘以pk,.

#78. 数学期望值_百度文库

類1. 設袋中有10 元、5 元硬幣各3 枚，自袋中任取2 枚，則期望值為。 類2. 同時擲10 個公正的硬幣，若有k 個硬幣出現正面，可得2 k 元，則(1)恰得32 元之機率為

#79. 投資思維— 長期投資的價值？ - StockFeel 股感

只要期望值是正數，投資就一定可以賺錢嗎？ 假設現在有一個賭局–投擲一個公平硬幣。若是投到正面，可以贏得200 元，若是投到背面，則會輸100 元，你會 ...

#80. 期望值Expected Value 的含義 - 學校沒有教的數學

不明白你的問題。同時擲3個銀仔，那麼求什麼的期望值? ... 即係你去冒險樂園玩擲彩紅最大個格紅色4獎最小個格紫色一等獎原來規則你只可以每次擲1個硬幣但你依家一次過擲3個 ...

#81. 抛硬币次数的期望 - Cmd Markdown

网上遇到的一个面试题： 反复抛一枚硬币，直到抛出两次正面为止。我们期望要抛多少次？（默认这个硬币正反面的概率都是0.5）.

#82. 再婚- 为了孩子与前夫一起生活，10年后女子直言上当 - 网易

涂妍是远嫁，她对谢宇的期望值更高。 婚后的谢宇，确实变得懈怠，也确实达不到她的期望值，但好在有曾经的感情做支撑 ...

#83. 机器学习中最常见的统计概率分布总结 - 51CTO博客

例如，如果你抛硬币10 次，你能得到的正面数可以用一个数字表示。 ... 你知道这个硬币正面向上的概率是0.7。 ... 正态分布的期望值是均值。

#84. CO1025-0.500-EXT-3.3 GWTR - Datasheet - 电子工程世界

该自动成像仪名为µWAI（micro-WAY），且大小仅为1欧元硬币。 ... 内容今天， Oculus 正式推出新政，如果用户感觉购买的VR内容达不到自己的期望值，可以申请退款。

#85. 如何活用行為經濟學：解讀人性，運用推力，引導人們做出更好的行為，設計出更有效的政策

回歸平均值回歸平均值的具體例子說明如下。假設投擲十枚硬幣,每出現一枚正面可獲得100圓。出現正面的硬幣數,平均值為多少?數學上的期望值為五枚,所以期望獲利是500圓。

#86. 111年數學(A)完全攻略[升科大四技] - 第 141 頁 - Google 圖書結果

8 袋中有 1 元硬幣 10 枚,5 元硬幣 3 枚,10 元硬幣 1 枚,任取 4 枚,期望值為何? (A)6 元(B)8 元(C)9 元(D)10 元。( ) 9 袋中有 8 個紅球,若干個白球。今自袋中取一球, ...

#87. 想像力實驗室: 鍛鍊發想力的33個思考實驗 - Google 圖書結果

依照直覺來想你一定覺得這樣絕對虧本打從一開始就不會參加吧加期望值是無限大是什麼意思呢?簡單來說這個遊戲如果只丟一次硬幣可以獲得的獎金期望值就是十日圓在第一次 ...

#88. 預測未來的極簡統計學 - 第 118 頁 - Google 圖書結果

的機率是 16 ,而擲硬幣的遊戲也能夠使用相同機率論中「期望值」的概念此時就變得相形方式計算出期望值。重要。期望值究竟是什麼樣的數字?假設有個彩券的總銷售額約有% ...

#89. 從骰子遊戲到AlphaGo：擲硬幣、AI圍棋、俄羅斯輪盤，生活中處處機率，處處有趣！

3 其中隨機變數的期望值 E ( x )對應於 f ( a ) ,標準方差的平方根 std ( X )對應於一階導數,常態分布 N ( 0,1 )對應於( x - a ) ,後面是可以忽略的高階小 ...

#90. RStudio的操作與基礎統計應用 - 第 590 頁 - Google 圖書結果

... abline (h=0.5,col="red",lty=2)從圖示中可以看出,當投擲硬幣次數約在 200 次以上時,正面出現的機率值在 Y 軸數值等於 0.50 上下波動,正面出現的期望值為 0.50。

#91. 我炒的是人生，不是股票！ - Google 圖書結果

所以學者們進一步將硬幣擲出正面時可獲得的金額逐步提高,試圖讓它由公平的賭局變成正期望值的賭戲。結果發現,一直到硬幣擲出正面時可獲得的金額提高至25萬元時, ...

#92. 111年升科大四技二專數學(A)總複習測驗卷[升科大四技]

1 9 1 (A) (B) 8 ) 15 投擲一枚均勻的硬幣 4 次,若已知前 2 次出現(D) 1 5 。 ... 每張鈔票被抽中的機率相同,今某人中任抽 1 張,則此人所得金額的期望值為?

#93. 跟著網紅老師玩科學：十分鐘搞懂數學、物理及生活科學

079 第一章有趣的數學按照機率計算,一次遊戲中,男人收益的數學期望值為:也就是說, ... 在這個遊戲中,男人和女人並不是拋硬幣,而是自己選擇出硬幣正面或反面。