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#2019科學玩意節7月13日至7月14日
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轉動向量 在 Re: [問題] 轉動慣量是張量嗎? - 看板Physics 的推薦與評價
※ 引述《gary85238 (小黃)》之銘言：
: 之前不知道是上哪堂課(或是自己做夢?)
: 好像聽說過轉動慣量是張量
: 有沒有比較普物的方法可以解釋為什麼慣量是張量@@?
回想一下轉動慣量的定義：
若剛體繞某個軸以角速度ω（向量）旋轉，則可以定義E = Iω^2/2，
E為轉動能量，I為轉動慣量
這個定義是任何情況都通用的（只要你能找出這個轉動軸）
但是，如果根據角速度ω1算了一個I1，當情況換成角速度ω2時，又要再算一個I2
若ω1和ω2平行或垂直時還有些定理可用，但是當兩者之間的夾角並非此類特殊關係
則I1和I2之間沒有任何簡單關聯，
換句話說，就是每當換了一個ω，你就得重算一次I
這樣未免也太麻煩
所以我們可以嘗試擴充轉動能量的定義：
假設現在的角速度是ω = (ε, ζ, η)，
ε、ζ、η分別是沿x、y、z方向的角速度分量
一個很簡單的想法如下：
我們可以把E改寫為下列通用式：
E = (1/2)(Ix．ε^2 + Iy．ζ^2 + Iz．η^2 )
這樣，只要我們事先算出Ix、Iy、Iz，那就不必每次都重算轉動慣量
只要把角速度取分量再分別相乘就好了
但是這樣的簡單想法有個問題：你怎麼知道這個x、y、z軸要怎麼取？
真實世界裡顯然沒有個固定好的座標系，所以你得自己設座標
結果就是這個簡單想法定義的E並沒有一般性
這時你或許會想到高中教過的：
不同的座標系，直接用矩陣轉換就行啦
原本在xyz座標定義的ω，想要改成在x'y'z'定義的ω'
我們可以定義ω' = Aω，A為轉置矩陣
那麼這樣的E會變成什麼東西？
「假定」，我們「假定」，這個E在某些情況下的確是正確的寫法
什麼情況下呢？就是你「正確地」定義出這個xyz軸的時候
當然啦，通常你不會這麼好運的，所以通常你定義出的東西，是x'y'z'軸
於是我們的能量就可以寫成：
E = (1/2)(Ix．ε^2 + Iy．ζ^2 + Iz．η^2 )
= (1/2)(ω^T．{I}．ω) => {I}是一個對角化矩陣
= (1/2)(ω^T．A^T．A{I}A^T．Aω) => 插入A^T．A = 1
= (1/2)(ω'^T．{I'}．ω')
簡單的說，經由座標變化，我們從原本的ω和{I}的表達式
轉換成了ω'和{I'}的表達式
但是，原本{I}是對角化的3x3矩陣，三個元素分別是Ix、Iy、Iz
現在轉換為{I'}，就不一定是對角化矩陣啦
所以我們得知，一般定義的轉動慣量{I'}，就是個任意的3x3矩陣，也就是個二秩張量
對於任意的角速度（向量）ω'，轉動能量和角動量為：
E = (1/2)(ω'^T．{I'}．ω')
L = {I'}．ω' => 可以看出角動量向量和角速度向量方向未必相同
那麼那個一開始假設的對角化矩陣{I}和對應的ω是什麼東西？
我們可以反過來想：把任意矩陣{I'}對角化成為{I}，這是什麼？
不就是本徵值問題（eigenproblem）嗎？
所以這個{I}裡面的Ix、Iy、Iz，就是任意矩陣{I'}的三個本徵值
要計算出這一組{I}所採用的xyz軸，則被稱作principal axis of rotation
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