今天剛考完的其中一題...學生們辛苦了～
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Problem 1: 有一天，台大小魯在 Dcard看到一個故事：
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剛剛放學無聊準備去圖書館泡一下。我們學校圖書館前面有一排置物櫃，我在那整理書包 。旁邊4步左右的距離有一個男生也在整理，我恰巧看了一下旁邊，發現我和他之間的桌上放了一張學生證。
好人如我 我怕有人遺失找不到，就想拿去櫃檯放，就低頭看了一下學生證。不看則已，一看不得了，是個清秀的帥哥啊啊啊。居然可以連學生證都拍那麼帥於是我不小心脫口而出：「這麼帥亂丟學生證幹嘛呢真是」。結果我聽到笑聲，抬頭一看發現在我旁邊整理書包的男生就是學生證的主人？！？！？！？！一整個神丟臉。
我整個尷尬說：「哎呀我不是故意看的啦＞＜」，直接衝進旁邊的廁所躲起來。等到我冷靜下來不尷尬後走出廁所，發現學生證主人已經不在了（幸好呼~）。我就準備繼續整理書包發現我書包旁邊還是那張學生證=口=然後……我就放到櫃檯去了哈哈
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這故事後來還有 Part 2, 3, 4, 5，後話不表，自己考後上網看。總之就是一整個超閃到爆的故事。一直沒有女友的小魯，看完整個故事系列後，人生突然充滿了希望，開始躍躍欲試。
根據小魯長年在圖書館的觀察，在圖書館出沒的女學生中，有七成是他喜歡的清秀佳人型（是的，小魯對女孩也是有他的品味跟堅持的，並不是只要是女生就行）。在圖書館出沒的女學生中，會有六成的人去置物櫃區。小魯也觀察到，女孩子進洗手間再出來的時間約是定值，都是五分鐘左右（別問為什麼小魯會觀察這個，還不是因為你們考試的需要！）。每天來置物櫃區的人熙熙攘攘似是Poisson，平均人流量 (rate) 大概是每十分鐘一人。這個學校的人眼睛很利，插在置物櫃上的學生證一定都會看到。只要看到有人遺失學生證，都會直接送去失物招領。另外小魯的外表，嗯…相當有特色。通常女生看到他的照片後，心中會覺得他「清秀」而脫口用「帥」形容他的，大約有一成。置物櫃每次使用投幣十元一枚，使用完畢會退還。
小魯看了狄卡閃文後，充滿了希望，開始進行「脫魯升溫」大作戰。他的劇本是：在置物櫃區徘徊，看到有女孩來，先判斷是否是清秀佳人型的女孩。若然，他便先記好那女孩放東西到哪格置物櫃。接著便跟著女孩，遠遠觀察這女孩唸書，等到看到女孩唸完書要離開了，他再趕緊衝到置物櫃把自己的學生證插在那女孩置物櫃的隔壁格門縫。若女孩看到了小魯學生證沒有漠視而且覺得小魯照片清秀脫口說出他帥，小魯再適時發出銀鈴般的笑聲（有點可怕…）。女孩會羞的進廁所，這時小魯就把學生證插在女孩置物櫃門縫後走人，等著女孩從廁所後發現小魯的學生證。若女孩從廁所出來前，沒有其他多事者把學生證送到失物招領，她便會拿到小魯學生證，成為日後兩人再次邂逅的契機！
(a) (7%) 小魯在突然看到一個女生走進圖書館。試問在小魯的「脫魯升溫」整套劇本，能在這女孩身上完全演練出來的機會是多少？（要進行到那個女生從廁所出來後還能拿到小魯學生證，才算完全演練出來）
(b) (7%) 小魯在圖書館待了一天，碰到了30個女生來。請問在30人中，出現15位女孩不是清秀佳人型、10個清秀女孩有走到置物櫃但漠視小魯學生證的機率是多少？
(c) (7%) 小魯的室友，酸溫，很瞧不起小魯。嗆聲說「你這套劇本會有用，我溫拿豈不是白做的！」他甚至放話：「如果用這套劇本在10個來圖書館的女孩身上，真的有女孩會因為看了你學生證覺得帥還聽到你笑聲會羞到躲到廁所去，有一個我就一千塊給你添行頭，每多一個我就再加倍給（第二個 $2,000、第三個 $4,000、…）。相反的，如果沒有半個女孩演到躲廁所那步的話，你輸給我 $1,000。敢不敢賭！」 請問，小魯真的答應了酸溫這個賭局，小魯能從賭局賺到的錢是正是負？期望值是多少？
(d) (7%) 小魯在圖書館一上午按照劇本操作，對於來圖書館的10個女孩，劇本通通都失敗。請問在這條件之下，還要再額外多少個女孩來圖書館才會讓小魯劇本出現第一次成功（要進行到那個女生從廁所出來後還能拿到小魯學生證，才算成功），這額外的女孩個數的機率分布是什麼？
(e) (7%) 圖書館每天開館時間是 14.5 小時。自從打定主意後，小魯每天都是圖書館一開門就衝到圖書館置物櫃區的人。小魯相當迷信，一直認為「3」是他的幸運數字，所以他對於每天開館後第三個到置物櫃區的人特別有好感（第三個是不把小魯算在內），認為是他的幸運者。請問今天當小魯一開館就衝到了置物櫃區，從他今天花在等待幸運者所花的時間，其CDF 是什麼呢？
經過一週的努力，小魯終於遇上了夢中的女孩，小魯告白成功。在這重要時刻，陰險的酸溫沒辦法忍受寢室內還有其他溫拿，於是決定要惡意的跟女孩透露小魯與他的賭局。酸溫的詭計能否得逞？女孩是否會反悔？小魯能否繼續守護著這得來不易的愛情？
這些，都已經都跟機率無關了。大家，就安心的考試吧～
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後註 - 出題理念說明：
考試題目有各種形式，背後有老師各自的教學理念在。過去八年來機率考試的題目，不是為了有趣而有趣，是有重要的理念在背後。在這邊分享一下，希望大家能理解這種形式題目的用意。
我們的科目是工程數學，不是高等數學。工程數學最重要的，是要訓練學生會用數學解決實際的問題。過去十五年來的教學經驗，我看過太多台大學生只要有人把題目出成 f(x), f(y) 等等要他們證明、推導，大家都很厲害。但是等到要他們在研究所把很簡單的數學就能解決的實際問題解決時，很多卻束手無策。
這就是因為學生們從國高中、大學以來，都欠缺 problem formuation 的能力：把實際的問題，翻譯成數學語言的能力。如果沒有這樣的能力，工程數學學會之後，也是只會考試而不會用在實際的工程或研究問題上的。
這也是為什麼我的教學理念是，工數一定要訓練學生會用數學解決情境式問題的原因。這次的情境式題目架構，其實是比往年的架構簡單。考的是能不能看出這個情境式問題下的數學架構。這樣的能力，對於以後做研究要用數學時，非常重要。
至於題目的題材有些趣味性，是為了讓學生可以感覺到機率是一個有趣的科目。希望即使當下沒有學的好，在以後研究所需要的時候，還能有正面的態度去重拾它。不過考試出題不可能出到讓人人都開心的，一定會是幾家歡樂幾家愁的結果...重點還是在於要訓練學生什麼樣的能力。
cdf機率 在 Re: [考題] 請問一題統計學的聯合cdf求機率- 看板Examination 的推薦與評價
F(x,y) = ∫_(0,y)∫_(0,x)f(x,y)dxdy
Pr(a1<X<a2,b1<Y<b2) =
∫_(b1,b2)∫_(a1,a2)f(x,y)dxdy #對x積分的部份拆開
=∫_(b1,b2)[∫_(0,a2)f(x,y)dx-∫_(0,a1)f(x,y)dx]dy
=∫_(b1,b2)∫_(0,a2)f(x,y)dxdy - ∫_(b1,b2)∫_(0,a1)f(x,y)dxdy #對y積分相同處理
=∫_(0,b2)∫_(0,a2)f(x,y)dxdy - ∫_(0,b1)∫_(0,a2)f(x,y)dxdy -
[∫_(0,b2)∫_(0,a1)f(x,y)dxdy - ∫_(0,b1)∫_(0,a1)f(x,y)dxdy]
= F(a2,b2) - F(a2,b1) - F(a1,b2) + F(a1,b1)
公式大概是這樣來的，有一些推論細節我沒有顧到，請原po注意下。
這題數字出的不好，因為a1是0，根據jcdf的定義，公式最後兩項為0，
就如原po說的，直接用F(1,2)-F(1,1)答案就出來了。
但是如果這題題目改成 Pr(0.5<X<1,1<Y<2)
最後兩項就是 -F(0.5,2) + F(0.5,1)，要注意！
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