從古巴比倫計算的 #圓周率(#π)為 3.125,到古希臘數學家阿基米德,證得 π 介乎 22/7 到 223/71 之間,再到 5 世紀祖沖之求 π 至小數後 7 位數……人類一直努力更精確計算無理數(Irrational number) π。瑞士研究人員本週一宣佈,藉超級電腦運算之力,計出當前最準確的圓周率,至小數點後 62.8 萬億個數字。但來萬億位又有甚麼意義?
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【籃球結合數學,得分更容易?】
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【「數學焦慮」:學生資質太差,還是教育方法太差?】
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俐媽看到這個圖(IG: freeformeshop)的想法是:
看個錶怎麼會這麼累😂😂😂😂
——————————————
感謝模B的宜婷,她是已經退休的科研數學教學,她也針對自己有興趣的主題,投稿了數學餐!
👩🏻🏫 宜婷+俐媽英文教室:
👉數論
1️⃣ 數系:
①ℕ natural number 自然數
②ℤ integer 整數
→ decimal小數(循環 recurring+,無限infinite+)
③ℚ rational number 有理數
→ irrational number 無理數
④ℝ real number 實數
→imaginary number虛數
⑤ℂ complex number 複數
2️⃣ sentence 語句
3️⃣ proposition 命題:有真假可言的直述(indicative)語句
4️⃣ axiom 公理:不證自明的命題
5️⃣ set 集合
6️⃣ assume (vt.) 假設(-sum: take)
→assumption (n. C) 假設
→make assumption about
7️⃣ denote (vt.) 表示
→denotation (n.C) 意義,本意
8️⃣ exist (vi.) 存在(-sist: stand)
→existence (n.U) 存在
9️⃣ satisfy (vt.) 滿足
🔟 commutative laws 交換律【x+y=y+x、x×y=y×x】
1️⃣1️⃣ associative laws 結合律【x+(y+z)=(x+y)+z、x(yz)=(xy)z】
1️⃣2️⃣ distributive law 分配【x(y+z)=xy+ xz】
1️⃣3️⃣ law of trichotomy 三一律
1️⃣4️⃣ axioms of equality 等量公理
1️⃣5️⃣ reciprocal (n.) 倒數;(adj.) 相互的,互惠的
1️⃣6️⃣ factor因數
→ common factor 公因數
1️⃣7️⃣ multiple 倍數
→ common multiple 公倍數
1️⃣8️⃣ Euclidean algorithm 輾轉相除法(歐幾里得算法)
👉集合論
1️⃣ subset 子集(sub-: under)
2️⃣ empty set 空集合
3️⃣ universal set 宇集(uni-: one/ -vers: turn)
4️⃣ intersection 交集(-sect: cut)
5️⃣ union 聯集
6️⃣ difference set 差集
7️⃣ complement set 補集
8️⃣ Venn diagram 文氏圖
9️⃣ power set 冪集合
🔟 element 元素
1️⃣1️⃣ sufficient condition 充分條件
1️⃣2️⃣ necessary condition 必要條件
1️⃣3️⃣ if and only if 若且唯若(充分且必要)(⇔)
👉機率統計
1️⃣ Random Variable隨機變數【variable (n.C) 變數;(adj.) 多變的,反覆無常的】
2️⃣ discrete (adj.) 離散的,單獨的
3️⃣ Probability Distribution 機率分布
4️⃣ expectation 期望值
5️⃣ Linearity of Expectation 期望值的線性
6️⃣ variance 變異數
7️⃣ independent event 獨立事件 (cf. mutually exclusive event 互斥事件)
8️⃣ repeated experiment 重複試驗
9️⃣ Binomial theorem 二項式定理
🔟 Binomial distribution 二項式分布
1️⃣1️⃣ sampling抽樣
→population母體,sample樣本
①簡單隨機抽樣 sample random sampling:每一樣本抽到機率相同
②系統性抽樣 systematic sampling:將母體元素編號後,每隔一定間隔抽取一個樣本
③分層隨機抽樣 stratified random sampling:將母體按某些特性分成數個不重疊的層,再依各層佔母體比例抽取樣本
④叢集抽樣 cluster sampling:將母體中相鄰近的個體排為一集體,而以集體為抽樣單位
1️⃣2️⃣ normal distribution 常態分布(Gaussian distribution 高斯分布)
1️⃣3️⃣ standard score (standardized score) 標準分數(標準化分數)
——————————————
謝謝宜婷🙏🏼
附圖2, 3是常見的數學表示法哦!
#俐媽英文教室 #辣媽英文天后林俐carol #俐媽英文教室徵稿中 #mathematics #themewords
irrational數學 在 元毓 Facebook 的最佳解答
本次諾貝爾經濟學獎頒給一個宣稱「不理性存在」的學者,彰顯整體經濟學界的墮落與退步。
說過許多次,經濟學的基礎功在於對經濟學基本概念的掌握,而非那些高深但往往無內容的數學。
講更直白,經濟學的數學玩得再高深,也不如工程數學或物理數學乃至於純數學本身的難度。但懂數學者都知道數學不等於科學,數學只是一種更精準的描述語言,重點在於語言是否有內容,如果內容不科學,則即便套上數學的外衣也不過是國王的新衣。
我也說過許多次,經濟學的「理性」定義非常嚴謹且明確 -- 需求曲線必定向右下傾斜。
翻成白話文就是:只要行為模式符合「永遠嘗試用更少代價換取更多效益」就是經濟學定義的「理性」。
反之,當有人宣稱行為可能「不理性」時,其實他所說的是:「有人願意用更高的代價換取更少的東西。」而這在真實世界是不存在的行為。
即便是奢侈品,也是促銷時賣得比原價好(身為多家名牌集團的股東,這部份我跟管理階層考證過)。許多人誤以為奢侈品越貴賣越好,這是錯誤的迷思,其實賣最好的多是那些較便宜的入門款、經典款。少部分可以高價還賣得好的設計師款,多是因為二手價格支撐,如果二手價崩盤,則新品也會跟著崩。
即便是藝術品,單品的故意高價買入行為,往往是因為買者手頭藏有大量同作者作品,故意高價買入新品,其實是提高自己收藏的整體租值,依然符合經濟學定義之「理性行為」。因為如果哄抬單品價格不具備抬高整體之效果,則哄抬行為就不存在了。
舉此二例是要說明,許多看似不理性行為背後都有其需要考究的侷限條件。
如同我在舊文【經濟學基礎第四講--自私的假設(中)http://wp.me/p9ffS3-oW】裡已說得很明白:
"理性不代表決策正確
上篇討論我們知道,任何人的行為必定是希望用越少的代價得到越大的效益。只要符合這個行為模式就定義為自私,同時人類不存在任何不自私的行為。
經濟學上也有人把這樣的行為模式叫做理性,也就是說只要符合這個行為模式,就是理性經濟人(rantional economic man)。這也表示從經濟學的觀點,人的行為必然理性,沒有例外。
因此,財經報紙甚至某些經濟學家會說股市漲太多,是「非理性繁榮(irrational exuberance)」,例如知名經濟學家Robert J. Shiler就宣稱:「經濟學錯誤假設人是理性,但凡人永遠不會是理性經濟人,一旦出現非理性的投資人與過度繁榮的市場,經濟學就無法解釋...blah blah blah」。
這類言論我相信關注財經新聞議題的人多多少少都見過,全都是bull shits!
這些號稱經濟學家的人,其實連經濟學基礎都沒學好,根本誤解了理性經濟人的定義。也誤以為理性決策必然正確。
股市不管被炒得多高或是殺得多低,決策都是理性的!這句話看似難以接受,但是論者必須要回到經濟學對於人的理性決策的最初定義 -- 用最少代價換取最高效益。
股市追高行為非常普遍,不外乎買家認為該股票會繼續上漲,買進依然有賺頭。這是理性的自私行為。但買錯了,例如2015年初買到宏達電,現在7月悔不當初(156元 --> 58元)。你能說買家是非理性?錯!你能說這是預測錯誤,而預測錯誤是訊息成本的問題。理性並不表示決策正確。未來我們的經濟學講座會引進「訊息成本(information cost)」這個被許多經濟學家忽略的觀念。
什麼是訊息成本?就是「千金難買早知道」。"
許多宣稱「不理性」的經濟學理論說穿了就是發明者本身對於真實世界的侷限條件與訊息成本內容無知所致。
在我看來,「考察侷限條件與訊息費用」這件事成本極高,要成為經濟學高手必然要對真實世界有深入了解。了解過程,甚至要成為多個行業的「半個內行人」才能正確運用經濟學解釋現象。
可是對坐辦公室跑教室,有論文與講課壓力的所謂學者而言,這樣做太辛苦也得不償失。
跑跑不知所謂的統計數字,隨便找個線性關係套上花俏的理論,或是乾脆宣稱「人是不理性」,就可在學界糊口飯吃,何苦來哉實地創辦企業考察?同樣的,許多號稱金融學大師,其投資經驗甚至可悲到只是模擬投資遊戲裡的事後諸葛,真金白銀在市場拼搏的經驗少得可憐。君不見三個諾貝爾獎得主創辦的LTCM避險基金,數學玩得天花亂墜最後依然破產收場。
為了瞭解歐美奢侈品品牌定價思維與促銷手段而自掏腰包成為股東並參與股東會乃至私下與管理階層溝通,就我所知少有學者像我這樣做的。你只買一張股票人家當然不甩你,你得是有點分量的股東,而這點多數學者做不到。
不過就如同先前我評論米其林美食評鑑一樣,這類評鑑(包含諾貝爾獎)都是魚幫水、水幫魚。故我也可以在此斷言,許多學者不會認同我對諾貝爾經濟學獎的如此負評(一笑)!
因為判斷是否真有實學的訊息費用太高,所以這類人可以彼此互捧(being each other's brown nose)來造神。造神之所以有市場,也來自於訊息費用 -- 多數人懶得學習,總期待有個神快速給正確答案。
宗教界之所以存在妙禪、妙天、宋七力之流,背後經濟學原理也是一樣。真要談原始佛教,保證信徒跑光光。
簡而言之,經濟學界的怠惰本身也有其侷限條件使然,發展令人失望也是有目共睹。
只是諾貝爾獎已經兩次頒給宣稱「不理性行為」的學者,讓我有感而發。其實先前發明「檸檬市場理論」的傢伙可以拿諾貝爾獎,就已足證這個獎項的水準不太高了啦。
PS 話說諾貝爾經濟學獎並非諾貝爾獎,我想大家都知道就不贅言了。
文章連結:
http://wp.me/p9ffS3-sq
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課題: Simplification of Surd 根式化簡
適用級別: 中二,中三,中四, 中五, 中六
其他導師的影片:
《Herman Yeung - #DSE #Surd - 01》
https://www.youtube.com/watch?v=nrr7f...
《【解答達哥】點解圓周率無窮無盡?Why is Pi irrational?爆機兄弟 X 杜氏數學 Herman To Math 卡關達 文科仔 蔡思貝 達太祖 達朝數學課程 無理數》
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#根式
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精選系列節錄:
《數學 DSE 狀元神技秘笈》系列
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《賭Sir數學戒賭》糸列
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
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A ── 會考 Additional Math 附加數學
A ── 高考 Pure Math 純粹數學
A ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
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A ── IAL Core Math 3 4
A ── IAL Further Pure Math 1
A ── IAL Mechanics 2
A ── IAL Mechanics 3
A ── IAL Statistics 1
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irrational數學 在 Herman Yeung Youtube 的最佳解答
HKDSE Mathematics 數學天書 訂購表格及方法︰ http://goo.gl/forms/NgqVAfMVB9
課程簡介︰ https://youtu.be/Rgm7yUVG9cY
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Herman Yeung Mock 模擬試題集 B︰ 包括 6 份 Paper 2 卷二MC
Mock 模擬試題集B - Set 1 (共1小時5分鐘) https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8qJWBiSonbhykjAZ7Z11Tiy
Mock 模擬試題集B - Set 2 (共55分鐘) https://youtu.be/fCVzjV7gmL0?list=PLzDe9mOi1K8qJWBiSonbhykjAZ7Z11Tiy
Mock 模擬試題集B - Set 3 (共56分鐘) https://youtu.be/3SYsZE0ZL_g?list=PLzDe9mOi1K8qJWBiSonbhykjAZ7Z11Tiy
Mock 模擬試題集B - Set 4 (共1小時1分鐘) https://youtu.be/VpuohzxrC-Q?list=PLzDe9mOi1K8qJWBiSonbhykjAZ7Z11Tiy
Mock 模擬試題集B - Set 5 (共1小時3分鐘) https://youtu.be/L0vRGyCjaRs?list=PLzDe9mOi1K8qJWBiSonbhykjAZ7Z11Tiy
Mock 模擬試題集B - Set 6 (共1小時6分鐘) https://youtu.be/-XfqhtoQQhA?list=PLzDe9mOi1K8qJWBiSonbhykjAZ7Z11Tiy
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HKDSE 數學 Core 各天書 的內容︰ https://www.facebook.com/hy.publishing/photos/a.312736375489291.68655.198063650289898/933817946714461/?type=3&theater
HKDSE 數學 Core 特別快車班
28堂 (共7本天書) 完成整個 HKDSE 數學 Core
(中一至中六) 要考的所有課題,
適合任何考 HKDSE 的同學上課 (中四至中六都合適)
(p.s. Herman Yeung 所有天書,中英對照)
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DSE 數學 Core 天書 A: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8p2A7HMhwz4udhLJTQt9p2b
DSE 數學 Core 天書 B: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8rwG72J-TSOYyLyaqBVuvGV
DSE 數學 Core 天書 C: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8odfBVQx48_i9qe6II5OhtL
DSE 數學 Core 天書 D: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8rpwKQvMwGSscFQo9vNiJEs
DSE 數學 Core 天書 E: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8qapGxN7XDZHxTUm8UTItB0
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DSE 數學 Core 天書 G: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8p_vodcg2qObWmOUc_TxbFy
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irrational數學 在 Re: 有理數- 精華區tutor - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
rational number稱為有理數,基本上是一種積非成是的翻譯
應翻譯為"可比數"(關於這點項武義也在他的書上提過)
如果Q是一個有理數,那麼此數可以表達成p/q
p
Q= ----
q
其中p,q屬於整數且q不得為0
irrational number則應翻譯為"不可比數"
在數學史上,irrational number反而是累積了更多的理性才被瞭解的
稱為無理數是不恰當的...
rational number表達成小數形式必為無窮循環小數(即使是整數也是以0為循環)
irrational number則否,甚至有些數學家會研究其數字隨機分佈的理論
之前討論串裡有人提及"分數就是有理數"
這陳述是錯誤的...
整數肯定是rational number,rational number的定義中不反對q=1
但是在E.J Borowski編的權威性數學辭典中
不認為分母為1(也就是整數)為分數(fraction)
甚至,分數可以表達irrational number(待會我會證明),
irrational number目前數學家證明有兩種型態
分別是不盡根(√2,√3...等等)和超越數(e,π...)
分數有兩種:簡單分數與"連分數"(continued fraction)
一條分線稱為簡單分數(m/n,n不為0或1)
多條分線稱為連分數
無窮多條分線稱為"無窮連分數",
而無窮連分數又有一種既定成俗的形式,也就是必須把所有的分子都化為1
這是為了不讓一個數,表達為無窮連分數而造成無窮多種可能...而制訂的
所有的分子都為1的無窮連分數稱為"簡單無窮連分數"
命題:將√2化為簡單連分數
sol:√2 = 1+ (√2 - 1)
(√2 - 1)(√2 + 1) 1
√2 = __________________________ = 1+ _____________
(√2 + 1) (√2 + 1)
1 1
=1+ _______________________ =1+ ___________________________
1
2+(√2 + 1) 2+ _____________________
1
2+______________
1
2+________
2+....
數學家老早證明了"不盡根"可以化為唯一的"簡單無窮連分數"
並且有速記法,例如√2=[1;2,2,2,2.2,.....]
而√3=[1;1,2,1,2,......]
也就是說不盡根這種irrational number化為簡單無窮連分數
會是無窮循環的形式(速記法便看的出來)
而irrational number的另一種可能,
也就是超越數則辦不到有規則的無窮循環...
超越數表達為簡單無窮連分數,絕對不會無限循環
例如e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8........]
---------------------
事實上,廣義的來說....每一個實數都可以寫成獨一無二的分數(簡單連分數)
而該數為rational number時,分數的寫法長度會有限
若該數為irrational number且為不盡根,分數會無限長並且循環
若該數為irrational number且為超越數,分數會無限長並且不循環
你可以說:能表達成p/q 且q≠0這種數為rational number
但不能說rational number完全等價於分數
--
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◆ From: 203.67.110.137
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