【這題怎麼算?至少有三種方法,你用哪一種?】
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上次在講為何需要極限嚴格定義時
我有問過這題
不少同學知道答案是 1
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但是為什麼?
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學數學時
最重要的事就是問為什麼
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方法 1️⃣
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有些同學講
因為當 x 越靠近 0 時
sin(x) 和 x 比值越靠近
所以極限是 1
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這方法蠻直觀的
但不是直接畫圖看左右極限
因為上圖並非 sin(x) / x 的圖形
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方法 2️⃣
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有些同學則使用羅必達法則
分子分母個別微分,再求極限
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但這方法有點問題
特別是針對初學者
因為在初學極限時
是沒有微分可以使用的
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方法 3️⃣
.
那麼初學者要如何得到這題的極限呢?
可以參考我頻道影片
👉 夾擠定理|觀念講解
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大家是用什麼方法算出這題極限呢?
在下面留言告訴我唄~
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【極限的嚴格定義?大一新生的大難關】
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∀ ε > 0, ∃ δ > 0, s.t.,
∀ 0 < | x - a | < δ, | f(x) - L | < ε
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這一大串看似咒語的數學敘述
是很多大一新生初學大學微積分的難關
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而那一大串咒語所代表的意思
就是當 x 趨近 a 時,f(x) 會趨近 L
.
剛高中畢業的同學或許會覺得奇怪
函數的極限,不是看左右極限就好了?
.
其實不然,像下面這個例子:
lim_{x→0} sin(x) / x
其函數圖形不好畫
所以不容易直接從圖形看出左右極限
.
因此數學家才需要發展極限的嚴格定義
就是最前面看到的那串咒語
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從該定義出發
先解決基本函數的極限
然後證明函數的極限公式
再搭配一些計算技巧和定理
最終就能靠計算得到大部分函數的極限
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像剛剛提到的那個例子也行
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知道那個例子的答案是多少嗎?
知道的同學下面刷一排答案唄~
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sin極限 在 收納幸福-廖心筠 Facebook 的精選貼文
CH 感謝筆記提供Ru Sin Jhu
精準購物衣櫥整理
Vicky老師 廖心筠老師
Vicky:看了近藤麻理惠影集─以為斷捨離就是丟衣服自己來就好,後來還是找朋友幫忙,黑色垃圾袋,看不到就不會揀回來了。不捨丟哺乳衣、孕婦裝。
如何精準採買,廣告與代言人等吸引以為買了會達到快樂時尚等等。
廖哥:花錢了,覺得不適合,不甘心,繼續留著等哪一天穿就會美
累積很多可有可無的,會穿的80/20法則,每次打開衣櫥就會有好心情
一次下架,依類別,今天裙子,明天短袖上衣,不要全部都拿出來會累死。
問三件事:1.好喜歡2.可是(這件很好看可是起毛球、縮水、穿不下) 3.不知道
對鏡子想像鏡子內是未來瘦的自己,「嗨未來的OO,你還會想穿這件嗎?」→未來的你會想穿新衣服or老古板
避免失手,要先了解自己的品味跟價值觀。
櫃姐介紹,最難介紹的就是「都可以」,給了才說「不要」
如何知道風格?衣櫃全部打開,最喜歡最常穿最被誇獎的,或看雜誌喜歡的就去店裡試穿,試穿很重要,漸漸就會知道自己適合什麼,就不會踩雷。
Vicky:例如面試,櫃姐介紹黑色的或是套裝,但是自己要去的是設計產業,就去公司前面站1~2小時觀察他們的穿著。不要被框架綁住。很多人都沒有自己的調查跟紀錄。
廖哥:簡單的紀錄方法,可以先把衣櫥的衣服拍起來,購買前先看過一次。可以用手機拍下每天自己的穿搭。好看的、不好看的都記下來,用圖像記錄,不一定要用字。Vicky:還可以PO上IG動態XD,促進互動。
可有可無的→敗部復活區,這一周就穿出門,每天穿,發現自己不想穿,就會很快斷捨離。
Vicky:昂貴的禮服、到了一個階段、決定送人:希望對方要會穿,真的要穿去吃飯、要拍照,不然就要送人或丟掉,不能造成別人衣櫥的困擾。
廖哥:每個階段的衣服,隨著你”長大了人生進階,衣服可以給別人。
Vicky:用季來汰換整理衣服。
廖哥:斷捨離要什麼時候做?每天365天每天都斷捨離。在衣櫥旁邊放一個籃子,穿了不舒服不適合不好看,反面丟進籃子,滿了,反面拿去洗跟曬,等累積到一個數量要送了就翻到正面,PO在贈物網或分享愛,一次送出。超快!
衣架不能變多,用空間限制數量。
垃圾整理好,只是整齊的垃圾。收納─是有多少數量跟有什麼放哪裡才是收納。
Vicky:不要買自己不能負荷的衣服,年輕小姐時還可以燙,後來生小孩9點就要熄燈,沒空檢視衣服狀況沒空燙,要整理起來方便、省時、省力。
廖哥:可以在衣櫃內裝燈,也不用全部丟掉,很喜歡的還是可以留下。
Q(jess):剛新裝潢房子,想要利用天花板的空間作吊櫃,老師有建議怎麼擺放跟收納工具,不知道怎麼做會比較好。
A(廖哥):手舉高的高度已是極限,太高拿不到不會想拿,上面的空間可以放棉被或包包跟行李箱,吊的與抽屜的比例看自己習慣與衣服種類,但抽屜會比較貴,抽屜不夠用可以去ikea買抽屜櫃。
Q(jess):建議買什麼收納盒
A(廖哥):ikea skubb收納盒 輕、單色、白,或百寶袋王,透明。
Q(善善):材質款式顏色有什麼特別喜好或建議?
A(廖哥):黑、白、灰、深藍、米就很好搭配,自己最合適、好搭的。
A(Vicky):主色桃紅、黑白灰去搭
Q(設計先生):行為管理,80%黑白灰20%配件點綴有色彩的東西。環境的朔造,人有怠惰性,爬上去不太可能、蹲低又不太願意,超越人體的部分可以用機械電動,但懶得用還是會不用。房價很高的地方,床會想設計到天花板。
A(vicky的總結):手觸碰的到的放常用的東西,碰不到的可以放不常用的,而設計要成本,那就做好管理。
總結:拍照一次核對、用空間限制數量。
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Track: Netrum & Halvorsen - Phoenix [NCS10 Release]
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#大薯
sin極限 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳解答
【摘要】
本習題練習計算 sin(x²) 的導函數與導數
【勘誤】
無,有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
檔案:https://drive.google.com/file/d/1NLt85X7rLilKejNfm_O6Y9OyMyRbZk4t/view
簡答:可在張旭的生存用微積分社團下載
社團: https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus
【講義】
請到張旭老師臉書粉專評論區留下你的評論,然後私訊張旭老師臉書粉專索取講義,通過審核即可獲得講義連結 👉 https://www.facebook.com/changhsu.math/reviews
【附註】
無
【丈哥的話】
嗨!大家好,我是丈哥
終於進到微分篇習題了
關於極限跟連續
有很大的一部份是為了微分做準備的
微分篇開始
才算得上是微積分的一大支柱
如果你喜歡我們的教學影片
請幫我分享給更多正在學微積分的同學們,謝謝~
【學習地圖】
【微分篇重點一習題】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgk6DLLORAcVOYjFnPlIjtt)
習題 1-2 (https://youtu.be/GGe1oywopXQ)
習題 1-4 (https://youtu.be/vBFlI5ss_DA)
習題 1-6 (https://youtu.be/t3Y4VG3i6vM)
習題 1-8 (https://youtu.be/cf1KSuKw4JA)
習題 1-10 (https://youtu.be/vsUPqK42RtE)
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師與丈哥 (王重臻) 共同所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
請透過以下聯絡方式通知我讓我知道,謝謝
【張旭老師其他頻道或社群平台】
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#張旭微積分 #微分篇習題 #丈哥講解
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【摘要】
本影片練習計算 sin 跟 sin 合成的極限
【勘誤】
無,有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
檔案:https://drive.google.com/file/d/13wNxvddyR4f8XyAEqRyeHuH64V8ahMgX/view
簡答:可在張旭的生存用微積分社團下載
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【講義】
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【附註】
無
【丈哥的話】
嗨!大家好,我是丈哥
重點三也是相對容易的單元
有了各式各樣的運算律
算起極限更便利
但還是要練習練習
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【學習地圖】
【連續篇重點三習題】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgpzXw8ktcunJzRJMNxPZe5)
習題 3-2 (https://youtu.be/RuZ3bAYG1pY)
習題 3-4 👈 目前在這裡
習題 3-6 (https://youtu.be/wZ9bsmIbUS8)
習題 3-8 (https://youtu.be/aaB-tdY2cC4)
習題 3-10 (https://youtu.be/H22ix-o1Xys)
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sin極限 在 張旭微積分|極限篇|重點十二:lim_(x→0) sin(x) / x 專論 的推薦與評價
【摘要】本影片針對類似sin(x) / x 當x→0 時的極限問題去做討論,主要練習將式子整理成型如sin(x) / x 的項來處理【勘誤】無,若有發現任何錯誤, ... ... <看更多>
sin極限 在 張旭微積分|極限篇[12] lim_(x→0) sin(x) / x 專論|觀念講解 的推薦與評價
公開課❒ 張旭微積分極限篇[12] lim_(x→0) sin(x) / x 專論|觀念講解┄ 【摘要】 本影片針對類似sin(x) / x 當x→0 時的極限問題去做討論, ... ... <看更多>
sin極限 在 [微積] 關於sin(x)/x 當x→0 之極限- 看板Math 的推薦與評價
先前我一直強調 "不能引用 L'Hopital's rule", 何故?
首先, 依大一微積分(或 "初微")的方法,通常是採用高中
數學的定義方式: 幾何的, 或解析幾何的, 定義 sin(x)
與 cos(x), 而後以幾何方法配合圓面積公式證明
sin(x)/x → 1 當 x→0
而據此導出 D(sin(x)) = cos(x). 因此,應用 D(sin(x))
公式導出 "sin(x)/x → 1 當 x→0" 的方法,都是循環論
證, 所以不能用!
當然如果不是用初微的方法, 也就是不利用幾何或解析幾
何定義 sin, cos 及 lim sin(x)/x = 1 導出 D(sin(x)),
x→0
則沒有錯, 但仍不宜引用 L'Hopital's rule.
有幾種方式定義三角函數, 例如應用 power series 理論,
以 power series 定義 sin(x) 與 cos(x), 並得其導數;
或由微分方程式
y"+y=0, y(0)=0, y'(0)=1 定義 y=sin(x)
然後 cos(x)≡y'
或以積分定義 arc sin (x), 即 sin^{-1}(x), 然後定義
出 sin(x) 及 cos(x), 再得出 D(sin(x))=cos(x).
然後
lim sin(x)/x = 1
x→0
成為依 D(sin(x))=cos(x) 證得的結果, 即:
lim sin(x)/x = lim (sin(x)-sin(0))/(x-0)
x→0 x→0
≡ D(sin(x))|
| x=0
= cos(0) = 1
依定義, 而非依 L'Hopital's rule 得結論.
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