關於 二位數乘法題目 ，我們在網路上蒐集到這些相關的討論、資訊與評價

今天宣布停課至6/14，家長群組一片哀嚎！
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上週以來，全台灣的家長應該都是忙著在家陪小孩「停課不停學」（aka 被小孩惹怒逼瘋）吧！
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我兒的學校沒有直播課程，但老師提供了不少線上資源，原以為我只要依照老師提供的線上平台教小孩就好，這才發現，超難的啊！對我們來說很容易甚至已經是理所當然的東西，要讓7歲小孩聽懂，真的不容易，更何況小孩的專注力應該最多5分鐘吧！
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我正在教國語，小孩一直在旁邊碎唸廢話講一些不相干的事。
「你在學校也這樣嗎？」我怒問。
「對啊，大家都這樣！」他理所當然。
「那你們老師不會生氣嗎？」
「不會啊，老師還會笑出來。」
#我真的好佩服老師
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阿母一堂課教不到40分鐘就放棄，母子倆最認真的只有體育課，一邊看著老師提供的影片、一邊做運動，40分鐘做好做滿。
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昨晚，我在尼泊爾的朋友、也是孩子同學的媽媽傳來本週作業。
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尼泊爾在每年4月的新年假期後開始新的學年。去年開始封城時，學校也正好要放新年假期；待假期結束，有的學校採用線上教學，但我兒的學校沒有，就這樣繼續廢在家。我擔心小孩會全部忘光，於是自己在家「停課不停學」，拿出孩子的作業，每天替孩子複習英文、尼泊爾文，而且老師出題大都不是直接影印或列印教材，而是自己畫，毫無美術細胞的我只好每天練習畫畫，還記得當時學會畫螞議、王后、鳥巢，好讓孩子練習A for ant、Q for queen、N for nest……。
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過了幾個月，幼兒園園長決定要讓孩子們重拾課業，方法是每週五去學校領作業、下週五去學校交作業並領新的作業，也就是沒人教，只能自己寫。沒過多久，我們決定回台灣；再過一段時間，尼泊爾疫情穩定了，學校才恢復上課。
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4月又開始爆發新的一波疫情，各級學校再次停課，我兒原本的學校又再恢復每週帶作業回家寫的方式。看了朋友傳來的本週作業，不禁要說，尼泊爾的功課真的好多又好難！（光是這件事，我大概可以寫上中下三集！）
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我兒子在尼泊爾晚讀一年，所以這些作業都是幼兒園大班的程度，我只挑部份來說明：
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[英文]
＊每個字母開頭至少要能寫出4個單字，也就是至少要背26*4=104個單字。
＊要能寫出星期一～日、一～十二月的英文。
＊要能分辨子音和母音，要能寫出包含老師指定的子音/母音的單字各3個。（老師甚至會指定單字要由幾個字母構成）
＊台灣小一目前的進度：每個字母只要記一個單字。
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[數學]
＊乘法：個位數乘以個位數。
＊台灣小一目前的進度：兩位數的加法和減法。
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[尼泊爾文]
＊能寫出由2～4個字母組成的單字。
＊能寫出生活會話。
＊能寫出5種水果和生活用品
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[生活]
＊能用英文寫出4種生物和非生物。
＊能用英文寫出3種野生動物、家畜/禽、水生動物。
＊能寫出5種水果和生活用品
＊以上題目都用英文，所以要先看懂題目。
＊台灣小一目前的進度：「奇妙的水」，包括如何洗手以及節約用水。
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我兒在台灣的小一，期中和期末考只要考國語和數學；在尼泊爾的幼兒園時，各科都要考（要寫考卷），而且考太差還要留級。
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有沒有覺得兩國教育真的差很多？

莎莎是我的.............設計師。

今天我們發生了.......相當有趣的對話，而且她要求我要貼上網讓大家評評理。

#事情是這樣的

今天我去剪頭髮，跟她聊到她偶爾會說一些傻話，讓我剪頭髮的時光非常有樂趣，她有些惱怒的說自己"並不傻"。

OKAY.............

「那我問你 : 四萬加四萬是幾萬?」

「四萬加........八萬!!」，她說得相當堅決，沒有一點遲疑。

「那四萬乘四萬呢???」

她稍微遲疑了一下，但還是相當快的完成了心算 :　「十六萬!!」

我挑了一下眉 : 「你還說你不是笨蛋???」

她非常不服氣 : 「四加四是八，四乘四不就是十六嗎? (超過百位數的)乘法就是把前面的數字乘起來，然後把後面的零加上去啊!!」

我回答 : 「沒錯啊! 那妳乘完之後有沒有把零加上去?」

在一陣激烈的爭辯跟之後，我請她自己去按計算機，再來討論這件事。

(按完之後就沒甚麼好討論了啦)

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回到位置上的她，依然堅持自己不是傻瓜，只是中了我的陷阱。

「OK，那我再問妳 : 一公斤的棉花跟一公斤的鐵，哪一個比較重?」

她問 : 「一公斤的什麼?」

「棉花。」

「跟一公斤的什麼?」

「鐵。」

她馬上斬釘截鐵的說 : 「鐵比較重，當然是鐵，因為鐵比棉花重!!」

我認真地笑了一陣子之後，試圖向她解釋"因為同樣都是一公斤，所以是一樣重的"。

她堅定的不相信我，只是重複了一樣的論點 : 「鐵耶!! 鐵比棉花重很多耶!! 怎麼可能一樣重!!!!」

我努力的講了幾次之後，我就笑不出來了，我開始試著舉其它例子.......

「嗯.......就像是綠豆很輕，也比一整塊鐵還要輕很多，但是如果幾萬幾十萬顆綠豆，就可能達到一公斤，然後就會跟一公斤的鐵一樣重了。」

她依然不相信 : 「拜託，綠豆這麼小顆，怎麼可能跟鐵一樣重? 絕對還是鐵比較重啦!!」

「別想騙我!! 這個問題就像是一片披薩切八片跟十二片一樣，都是一塊披薩!! 這個我知道，因為我看過那個影片!!!!」(雖然我不知道這兩者之間的關聯是什麼?)

「你不要再跟我講這些數字了，我也不想再聽什麼綠豆、棉花跟鐵；你的題目是陷阱題!! 答案也有問題!! 就是要取笑我、笑我傻而已!!!」

#接著重點來了

「不然你把這個問題貼上去你的粉專，我不信只有我這樣，一定有人也跟我一樣笨!!!」

#於是就有了這篇貼文
#臨走前還不忘提醒我一定要貼_她等著看
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#求仁得仁
#AsYourWish
#來啊_大家來評評理
#她讓我剪頭的時間變得相當歡樂
#是個搞得懂面積的小女孩
#但卻對容積體積跟重量苦手呢

每週一、三、五的晚上10點半，一起看、一起想、有瞌睡蟲一起養。
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【 奇幻遠距蒙特梭利（四）：手動建構數學概念 】

蒙特梭利的數學教育真的是相當的驚人，幾乎在每個微環節都跟我們家長們血淚經歷的傳統數學教育完全相反，也因此為娘的只能不停地撿下巴。

從九個月大就是蒙特梭利北鼻的小札克，今年夏天就要轉九歲了。一方面因為知道蒙特梭利教育是幾十年在實驗室中觀察培養出來的最符合人性的科學教育法，我因此充滿信心，加上學校老師幾次提醒家長千萬不要在家裡教捷徑，導致不想秧苗助長的媽媽拿令箭樂得在家翹腳省事。小札克一路八年蒙特梭利上來，在防疫居家遠距教學之前，我們在家還真的從沒管過他數學的事。小札克從來沒在家裡寫過任何練習題，我從來沒陪他練背過乘法表，學校也從來不給回家作業。

這次難得的遠距教學，終於讓我見識到多年來蒙特梭利教育一點一滴培育出的小札克的數學腦有多奇妙！

幾個蒙特梭利教育的大特色，像使用身體的運作與活動去強化學習、使用教具讓抽象概念具體化、每個小概念都要知其所以然才會前進到下一步等等，在數學教育上仍然是面面俱到。

在最初級的數學概念建構上，串珠教具展現出『1』是一粒珠子，『10』是十粒珠子的一條串珠、『100』是十排十粒串珠的正方型板子、『1000』是十塊100正方型板子合出來的正方體。正方形的板子隱藏了ten squared（十平方）的概念，果真是個square。每一邊長都是十粒珠的正方體也隱藏了ten cubed（十立方）的概念，果真又是個cube。

然後藉著個位數蒐集到十顆就要去換一條十粒的金色串珠，金色串珠蒐集到十排就又要起身去換一塊百粒珠的板子，板子蒐集到十片就要再跑去換一個千粒珠的正方體，孩子們開始建立出進位的概念。

孩子們使用了觸感、視覺、身體的運作等多重感官去細細感受這些抽象的數學概念，有了圖像記憶與肌肉記憶，一千與一的幾何數量差別變成理所當然的事。

等這些『個十百千萬』的基礎數量與加法進位的概念建立好後，又有同樣數字同樣顏色的串珠串在一起的超級長鍊教具。孩子們把長鍊擺出來，一顆顆地去數，再去標註倍數的地方。

舉例來說，如果是「eight chain」（八鍊）的話，孩子們從第一顆珠開始數到8就放上8的標籤，並且記錄8x1=8，數到16顆就放上16的標籤並且記錄8x2=16，就這樣慢慢地一直數一直標到好幾百顆去。乘法的抽象概念與數量感藉此完全具體化。

孩子們專注地數珠子，慢慢地完成一個個的標記，並且用筆記錄下來，常常要花個幾天才會完成這麼大的任務。這工程充滿挑戰性與滿足感，每次兩少爺完工後總是相當興奮驕傲地向我們報告。

把數量感建立好之後，進階一點的數學教具開始用不同顏色去代表不同位數。寫著「1」的個位數小牌子是綠色的，「10」的十位數牌子是藍色的，「100」的百位數是紅色的。「1000」的千位數又回到綠色，然後不同位數就這樣綠藍紅綠藍紅地循環下去。這三個顏色代表的不同位數會一直沿用到之後小學六年更進階的許多數學概念上。

使用這樣的教具，加上「交換」進位的概念（十個『1』的綠牌可以換一個『10』的藍牌，以此類推），從這邊開始孩子已經可以做到千位數的加減乘除。兩少爺五六歲時就已經很熟悉這些技巧了。我之後會放上兩少爺用自己在家製作的同樣『郵票遊戲』（stamp game）教具拍攝的教學影片，敬請期待！

同一時間，老師也介紹了不同顏色代表一到九這些個位數字的串珠。像紅色一顆珠的「1」串珠、綠色兩顆珠的「2」串珠、粉紅色三顆珠的「3」串珠等等。這些代表不同數字的串珠顏色，也會從幼兒班三年開始一直沿用到整個小學六年。

北鼻麥在幼兒班開始用彩色串珠練習加法與乘法。兩條咖啡色的「8」串珠，等於一條金色的「10」與一條紫色的「6」串珠。孩子一顆一顆地數，再去交換進位。這個我稍後也會放上北鼻麥示範教學。😆

在這個階段介紹的種種數學概念，都彷彿是在介紹簡單基本的事物道理般。像加法就是把珠子或牌子放在一起，遇到十個就交換成一個『10』串珠或『10』牌子去進位。減法就是把它「拿走」、乘法就是「同樣數字重複加很多次」、除法就是把手上的珠子牌子「分一分」這樣。

在概念建構的很穩固之前，老師並不會把這些任務打上「加減乘除」的標籤。北鼻麥的四位數減法做了這麼久，到這次遠距教學才發現原來那個就是所謂的『subtraction』（減法）。孩子們練習教具的時候，也都有著慢慢處理手上操作的工作、努力完成挑戰的態度，從沒寫過練習題或練習卷。

其實這中間還有好幾個我只聞其名不知其詳的數學教具，都是朝著建立超穩固的基礎數學概念的方向走。因為不知道很多其他教具的仔細用法，所以兩少爺腦中到底裝了什麼高深莫測的東西，我真的都不太清楚。

又因為他們完全不背乘法表也不太熟『加減乘除』的標籤，所以偶遇無聊親友故意來個『考考你』時，他們大部份時候都答不上來，總是會尷尬一番。

一直到這次陪讀小札克近三個月，才發現到他的蒙特梭利數學腦真的好厲害喔！

小札克對乘法挑戰熱愛得很。之前提過在剛開始委靡不振的遠距自學時期，我為了激勵他而在家自製了蒙特梭利小學教具的乘法板與彩色串珠。這個暗藏幾何概念的乘法板上，不同的位數就是從小就很熟的同樣的綠藍紅綠藍紅顏色在循環著。小札克在我們乘法板完工後的第一件事，就是給自己出了個大挑戰25,637,842,349 X 987,654。

雖然小札克從沒背過乘法表，在學校常常做乘法圖型（pattern）的塗畫遊戲，又從小一直數珠子不知道數了幾千串。像在這個十一位數乘六位數的乘法板挑戰上，小札克就必須分別做六十六次個位數的數珠子乘法與進位的練習。

我在一旁沈默觀察著，發現他大概有三四成的乘法表已經因為熟能生巧而能直接記住答案了。其他還沒記住的，有時候他會喊著『I know the pattern！』努力冥想幾秒就想出來了。就算要數珠子，他也很少需要去一顆顆慢慢數，通常會靈活地把手上串珠交換成其他數字以便進位來快速數出答案。

舉例來說若是遇到6x4+9的話，乘法板格子上放著四條紫色的『6』串珠與一條深藍色的『9』串珠。若是北鼻麥應該仍然會一顆顆去數，小札克卻已經會很快地把深藍色的『9』串珠交換成兩條黃色的『4』串珠跟一顆紅色的『1』串珠，再把那兩條黃色『4』與兩條紫色『6』串珠合併成20。又再把一條紫色『6』串珠交換成兩條粉紅色的『3』串珠，然後把一條『3』串珠、一個『1』串珠跟最後一條『6』串珠合併成另一個10，這樣可以很快地看出答案是三個10加一串『3』。

在這樣一個大挑戰上要細細做的練習功夫還真是多到讓人咋舌！不過也因此讓我見識到蒙特梭利數學建構出的靈活性與概念流動性，處處充滿驚喜。

老師得知小札克在家興奮做乘法板大工程，也打蛇隨棍上地馬上跟他來個一對一的Zoom lesson傳授新工夫，教他乘法板用法上更進階的『紀錄部分成果』（record partial products）。

小札克得到新工夫，馬上又來給自己另一個大挑戰785,629,649Ｘ358,754，邊做邊使用直式乘法去紀錄部分成果。

其實在他們學校，正常人使用乘法板頂多都在練習三四位數乘兩三位數吧。等到很熟悉乘法板的基礎運作法之後，老師會介紹另一個進階的幾何乘法教具pegboard（釘板）。這個幾何乘法教具同樣使用綠藍紅三色去代表不同的位數，不過這次是讓孩子拿綠藍紅的珠子放到釘板上，拼出一個像乘法板的格式。

我在遠距教學之前完全沒見過這個功力高深的釘板教具，因此首次陪小札克看老師的教學錄影時，我大呼驚奇不停跟著做筆記，小札克在旁淡定說他早就知道了。所以底下照片裡會有媽媽書僮的筆記。🤣

我們在家直接拿之前用來做彩色串珠的Perler beads的釘板與珠子來做釘板教具的替身。這個Perler beads也未免太好用了吧！之後我們又一起看了老師使用同樣的釘板教具去解平方根的教學影片，使用同樣的綠藍紅珠子搭回一個正方形去找平方根，實在是太奇妙好玩了！！

熟悉這個用手操作的釘板教具與綠藍紅珠子之後，老師又再傳授，原來在紙上也可以做同樣的幾何乘法。

這個綠藍紅的幾何乘法教具，其實暗藏了（a＋b）x（x＋y）＝ax＋ay＋bx＋by的概念。老師從來不明說，對孩子而言這又只不過是個理所當然的概念，數字本來就有著這樣的運作道理。

有一次我們在做英公尺寸兌換的活動，遇到一個三位數要乘以12以轉換成英吋的練習問題，小札克馬上跑去把乘法板跟串珠拿過來在地上擺出陣仗。可是連一條串珠都還沒開始放上乘法板，他眼睛仔細盯著乘法板幾秒，竟然就突然喊出了答案。他說因為他光看著板子就已經知道每個幾何區塊的部分答案，在心中加一加就算出來了。

同樣一個練習活動裡，有另一個換算題目要做144Ｘ3。小札克很快地在紙上寫了300、88、120、12，然後當下我真的都還來不及反應，他就肯定地喊說答案是432。我請他仔細分格敘述他腦中的運算步驟給我聽，他才解釋說他先解決了100乘3的簡單部分，然後雖然他不知道44x3，可是他知道44x2是88，所以他只需要算88+44，他再把80拿去加40得到120，再把8加4得到12，所以他知道答案是300＋120＋12＝432。

所以基本上他腦中竟然在幾秒內就很自動靈活地走過了144 x 3＝（100＋44）x 3＝100 x 3＋44 x 3＝100 x 3＋44 x（2＋1）＝300＋88＋44＝300＋80＋40＋8＋4＝300＋120＋12＝432 這樣的步驟耶！

我小時候跟大部分的人一樣，是先很制式地去死背乘法表再學習直式乘除法運算法這樣長大的。這種數字充滿流動性的靈活直覺感，我記得可能是我練到國二國三甚至高中才逐漸開始掌握的事，對二年級的小札克來說卻是這麼的理所當然。

在蒙特梭利教室裡，沒有什麼需要死記的東西。就是像這樣在混齡班的三年內藉著許多不同的時機、使用不同的教具，傳達著類似的訊息，慢慢地一點一滴地建構出很穩固的數學概念，孩子們逐漸能夠牢牢掌握每個數串代表的幾何圖形與延伸意義。

蒙特梭利的數學也從來不是紙上的事，而是相當生活化、相當好玩的充滿樂趣的世界。

像遠距教學活動中學到分析圖的數學課程，小札克依指示到家前門步道上用粉筆畫了一個市調問題『如果你能有一種超能力的話，你會選什麼』。當週內散步路過的鄰居路人紛紛用石頭作答，週五我們搜集答案數據，然後依老師的教學影片畫出長條圖、餅狀圖等等分析圖，超有趣的。

學到圓周與直徑是pi (π) 的關係時，小札克依照老師指示在家裡翻出幾個圓形的東西，用毛線圍著圓周再展開以量出圓周長，然後再在這條毛線上描圓形。

小札克一個個地去畫，果然不管是什麼大小圓形的東西，都可以在展開的圓周上描出三個圓形，然後還都會剩一點點。他就這樣自己得到了圓周是直徑的『三倍加一點點』的結論，也就是π＝3.14的雛形。學校教室裡的正式的π的教具，也不過就是好幾個大小不同的圓板，讓好奇的孩子們去畫去描去自己體驗。

學校裡的分數教具則是同樣大小的好幾個圓板切割成不同的份數，依此可以很清楚地看見不同的分數與 1 的關係，以及分數與分數之間的關係。

我們在家也依照指示剪出了居家分數教具，小札克在幾個小團體的Zoom lesson裡分別上了分數的加法減法還有等值分數的算法。就連這些教學也是孩子們一邊手中做著勞作似的活動一邊學，像指示大家製作『分數的書』、用樂高磚塊去體驗分數等等。

在只有四個學生的小團體Zoom lesson裡，老師也要大家拿出剪好的居家分數教具去親身體驗到同樣大小的1/2與2/4與3/6等是真的『等值』，然後帶著大家畫出天馬行空龐大等值分數的大彩虹。

因為蒙特梭利教學裡沒有什麼「反正這樣去做就對了、記起來就好啦」的事，就連遇到十要進位這種感覺理所當然的事，老師也會特別解說歷史上使用其他進位系統的例子，而最後人類選擇了10去進位，應該是因為我們有十根手指頭腳指頭以方便計算。然後竟然還有讓孩子們練習去算不同進位系統的算數法的教學影片。

聊公英尺寸換算時，也詳細地講述了兩種尺寸來源的有趣歷史故事。因為英尺（foot）其實最早就是國王的一隻腳長，英吋（inch）是成年男人的大拇指寬，我跟小札克跑去量保羅的腳，果然是將近一英尺，他大拇指還剛剛好是一英吋的精準，真是笑死我們了。

奇幻遠距教學裡，還有很多其他的有趣數學教學是沒來得及提到的。小札克在幫我拍教學影片時，也不時提醒我其實他教室裡還有很多其他的教具可以去做同樣的問題求出同樣的答案，只是媽媽知識有限而已。畢竟我只是以一個書僮媽媽的角度去分享觀察，我知道我們讀者裡臥虎藏龍了一些專業蒙特梭利人士，若是有誤也請大家多多指教。

因為蒙特梭利教學從來沒有回家作業，也沒有什麼練習卷之類的會帶回家的『成果』，幾次座談會裡老師們總是再三聲明，很可能在家長眼中看起來孩子們就是整天在玩、感覺都沒學到什麼，不過他們真的都有在很深刻地學習著。

這長達三個月笑淚交織的防疫遠距教學在下週終於要進入尾聲，真是讓我跟保羅大鬆一口氣。肩膀上的壓力感覺減輕許多的同時，我卻也抱著極感恩的心情。要不是因為這一生難得莫名其妙的居家防疫遠距共學，我大概到兩少爺小學畢業都無法透徹看清他們流動靈活的蒙特梭利數學腦。

（要用文字敘述清楚種種教具的長相與用法實在不容易，所以我盡量把所有文中提過的教具使用照片都擺上來讓大家看圖說故事了，之後會再放上兩少爺精心拍攝的教學影片🤣）

JAVA程式設計第4次上課

這次上課主要是開始學習流程控制的迴圈部分：
有FOR、WHILE、DO...WHILE迴圈
這也是學習JAVA基本與法中比較重要且難學的部份，
因為人腦沒有迴圈的功能，反而厭惡迴圈，
所以常常有同學學到這部份就因此陣亡，
因為實在是太不人性化，但對電腦來說，
他最大的優點就是可以不斷的執行迴圈，幾萬次都無所謂，
除了次數可以無上限外，速度也快到不行，
所以自動化控制一定少不了迴圈，只是要怎麼把迴圈學好呢？
這是非常重要的一環。
除了要反覆聽講外，反覆練習範例檔也是個方法，
或是嘗試修改範例成別的迴圈方式也是方法，
例如九九乘法表除了可以用FOR迴圈解，也可以試試WHILE迴圈和DO...WHILE迴圈，
結果都可以做的出來。
此外，也加入TQC的JAVA術科題目都範例，TQC地JAVA題目不算太簡單，
很有挑戰性，且目前有這張證照算是少數，
我覺得可以當成考SCJP國際證照之前的暖身，或可說互補也行。

吳老師 101/8/25

01_TQC認證試題練習說明
02_SwitchCase範例說明
03_JAVA版本比較說明
04_用JOptionPane顯示訊息
05_FOR迴圈範例並改為JOptionPane
06_猜拳遊戲解說
07_猜拳遊戲修改成JOptionOane
08_如何找到Class類別檔位置與反組譯
09_如何找到TQC_JAVA的程式碼
10_說明檔的使用說明
11_Array1D一維陣列說明
12_Array1D一維陣列說明(JOptionPane版)
13_Array1D一維陣列說明(DecimalFormat版)
14_Array2D二維陣列說明

相關JAVA教學：
JAVA證照考題解答分享，Android證照的跳板
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JAVA程式設計總整理
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湜憶電腦 TQC JAVA進階級先修課程
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最近的生活很JAVA兼分享GOOGLE服務在教學上的應用
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文化大學推廣部JAVA程式設計第 2 次上課
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文化大學推廣部JAVA程式設計第 3 次上課
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文化大學推廣部JAVA程式設計第 4 次上課
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文化大學推廣部JAVA程式設計第 5 次上課
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Java、VisualBasic、Visual C++有什麼不一樣呢?
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程式語言排行榜，C語言居冠，JAVA次之
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Android程式開發證照教學懶人包
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