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先備知識：
1.橢圓的定義(3-3觀念01橢圓簡介)
影片重點：
1.所有繞同一恆星公轉的行星軌道週期的平方與半長軸的立方成正比。
2.所以離太陽越遠的行星要公轉太陽一圈的時間越久。
3.哈雷彗星也繞行太陽，故也符合週期定律（其週期為76年左右）
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克卜勒第三定律 在 Re: [問題] 萬有引力證明克卜勒定律- 看板Physics - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《falltasitic (天然呆>"<)》之銘言：
: 高中物理所提到萬有引力證明克卜勒定律的方法
: 是假設行星是以圓周運動方式運行
: 但是克卜勒定律不是橢圓軌道嗎
: 高中物理的證明方式應該是有問題的吧
: 麻煩大大可以幫我解惑一下，謝謝
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其實高中一直都沒有證明過橢圓軌道的克卜勒第三定律
我猜你現在問的是第三吧..Hmm
畢竟第一跟第二比較好理解。
以下證明其實不難，以高中生的程度是可以想到的(我高三就想到了)
在看以前，可以考慮要不要先自己想想看
給你個想法
你要搞出週期，而且這與半徑有關，代表週期與橢圓的特性(半徑、面積?)有關
接著，這週期可不是亂來的，它是遵守了某些定律
好比說，克卜勒第二定律、能量守恆、角動量守恆的，這些定律就像是
邊界條件一樣
所以靠這幾個就可以搞出來了~~
確定要看了嗎? 那就往下吧^^
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下面的證明過程，忘了考慮約化質量所造成的影響
但是我懶得改了，所以看完以後請繼續往下看推文那裏的修文
就可一目瞭然哩
THX
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1.藉由克卜勒第二定律
0.5r1v1 = 0.5r2v2 = πab/T --- (1)
T:橢圓軌道週期
a:橢圓半長軸長度
b:橢圓半短軸長度
r1:近日點距離
r2:遠日點距離
2.藉由能量守恆
-GMm/r1 + 0.5mv1^2 = -GMm/r2 + 0.5mv2^2 --- (2)
取(1)其中一條，0.5r1v1 = πab/T
a = (r1+r2)/2
b = (a^2 - c^2)^(1/2)
c = a - r1 = (r2-r1)/2 代入上式
∴ b = (r1r2)^(1/2)
∴0.5r1v1 = π * (r1+r2)/2 * (r1r2)^(1/2) / T --- (3)
∴ r1v1 = π*(r1+r2)*(r1r2)^(1/2)/T
由(2) 與 r1v1 = r2v2 可整理出 v1(r1,r2,GM)的式子
==> GM(1/r2 - 1/r1) = 0.5(v2^2 - v1^2)
∵ v2 = r1/r2 * v1
∴ 2GM(r1-r2)/r1r2 = v1^2 * (r1^2 - r2^2)/r2^2
∴ 2GM/r1 = v1^2 * (r1+r2)/r2
∴ v1 = [2GM * r2/r1 * 1/(r1+r2)]^(1/2) --- (4)
將(4)代入(3)
==> r1*[2GM * r2/r1 * 1/(r1+r2)]^(1/2) = π * (r1+r2) * (r1r2)^(1/2) / T
==> [2GM*r1r2]^(1/2) * 1/(r1+r2)^(1/2) = π * (r1+r2) * (r1r2)^(1/2) / T
==> (2GM)^(1/2) = π*(r1+r2)^(3/2) / T = π * [(r1+r2)/2]^(3/2)*2*2^(1/2)/T
∴ GM/4π^2 = [(r1+r2)/2]^3/T^2 = (平均半徑)^3/T^2
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.249.233
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 11:50)
謝謝提醒，我打到眼花了@~@
你說的沒錯!!感謝提醒。
是約化質量那裏出了問題~。
若要判斷太陽會不會動，其實我個人認為這是沒甚麼意思的。
因為動與不動，是一種相對的概念，所以...接下來你應該懂我想說甚麼^^"
其實你的最後一句話就幫我說出了答案
之所以可看為單體
其實就是站在太陽的座標來看，太陽不會覺得自己在動，會覺得是行星在繞著它轉。
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所以這不是質心座標，而是"太陽的座標"
高中時，幾乎每個老師都說是以質心的角度來看待使用約化質量這件事情。但實際上
卻沒有幾個老師去列式說明這句話的意義。換句話說，其實是要以相對某物的概念，
也就是以"某物的座標系"來看待這雙體運動時，就會得到約化質量這個結果。
在此題，就是以
""太陽看到的行星加速度 = 行星相對太陽的加速度
= 太陽給行星的萬有引力/質量""
來得到此質量為約化質量的。
詳細證明，維基百科有寫，可以去看看。
如果萬有引力的m要換約化質量的話，就表示在不同座標系下所看到的"力"不會相同了。
然後這就與證明約化質量的過程違背了，因為它假設換到另一個某物之座標系上時，
所看見的另外一物的受力與原本相同..
我再重新寫一次好了
1. r1v1/2 = r2v2/2 = πab/T
2.
-GMm/r1 + [Mm/(M+m)]v1^2/2 = -GMm/r2 + [Mm/(M+m)]v2^2/2
位能的值，要由萬有引力去做積分並且令無限遠的位能為0，而萬有引力不會因
以太陽的座標來看而改變，因此位能不會改變..
所以2式就變為
-G(M+m)/r1 + 0.5*v1^2 = -G(M+m)/r2 + 0.5*v2^2
對照上述證明過程
可以得到最後的結果會是
G(M+m)/4π^2 = [(r1+r2)/2]^3/T^2
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 22:31)
恩，以這角度出發就會知道，當站在質心座標系上觀察時，會覺得它的總能量
變為內動能了，而這時候我覺得...可能就一樣去算它們兩者的動能，
的確會等於0.5*約化質量*相對速度^2吧
不過個人偏好以站在某物的座標系上來看..HMM。
謝謝學長提醒約化質量與萬有引力的事情。
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 22:42)
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