你也看到頭暈了嗎！哈哈哈
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三度音程音準的煩惱
這數十年來，國內音樂教育所採行的聽音訓練，都是透過鋼琴彈奏的方式讓學習者記憶音高、音名，考試時當然也是同樣的流程。這樣的學習、考試，當然有其實質的意義與對學習的助益。然而，我在教學與指揮樂團的經驗中，卻也觀察到一個頗為 "有趣" 的現象。
音樂班的學生中，受到音樂基礎訓練越嚴格、成績越好的人，在調整小提琴等管弦樂器演奏音準時反而顯得越是困難、迷惑，特別是在演奏大、小三度音程 ( 六度是轉位 ) 時。究其原因，無外乎是因為他們的音準概念，被嚴格的訓練在平均律的聽感系統中。平均律對鋼琴、管風琴、木琴等等固定音高樂器，或是近代轉調複雜、頻繁，甚至無調性的音樂創作，都有無可取代的方便性與價值。然而，對非固定音高樂器、必須靠著與其他條弦、或是其他人合作，以奏出完整和聲的管、弦樂器而言，學習演奏準確的和聲、旋律音準，才可能成就和諧、美妙的樂音。
對於習慣用鋼琴鍵盤來理解音階組合、或是音律系統的人而言，十二平均律有可能是最容易溝通、最合邏輯的音律系統。平均律計算的基礎：12√2 所帶出的音律思維，與鍵盤上的組織是相符的，因為從視覺中，我們看到的排列組合就是音律系統的基本邏輯：音與音之間的級距都是相等的，同時，使用音分 (cent)來計算音與音的關係，更是慣用平均律思考音級的人最合 "常理" 的計算方式。因此，後面對於音律的說明，若能抹去腦海中的這一個鍵盤，或許反而更加容易理解。
從平均律的觀點出發，鍵盤黑白鍵的組織、音分的計算、音準的邏輯，都是正確的。問題出在，這整個系統的出發點，並不是為了演奏和諧、準確的音準。律學發展最主要的思維，是尋求最小程度的犧牲音準和諧下，求得最方便的實用性。而這一切都是為了解決：
1. 音階系統本身就存在無法迴旋的障礙
2. 固定音高樂器先天無法微調音準
過於深入的音律探討，對大部分人而言或許有一定難度。依我的經驗與理解，三度音程，應該是受過嚴格絕對音感訓練的弦樂器演奏者，最難以突破的聽覺障礙。我就從大三度音程的音準衝突切入，試著用最簡單的方式，來說明這中間最主要的問題點。
從定義上來看，音階的構成是五度相生 (畢達哥拉斯或是中國音樂等等皆是如此)，基本是建立在頻率比 2：3 的架構上 ( 2：3 就是五度關係)。也就是，說透過一連串 2：3 的頻率比，古時候的人們找到了從 F → C → G → D → A → E → B → #F → #C → #G → #D → bB → F 。可以從任何一個音開始，結束在同一個音，是我們普遍的認知。然而，事實上並非如此。我們知道，一個音與他的八度頻率比是 1：2 的關係，然而，2：3 不論自乘幾次 (五度疊加)，都無法成為 1：2，也就是無法迴圈。這個正是中外音律學家數千年來的核心問題 (五度相生12音後與起始音高八度的最終比 129.746：128，無法整除)。這個畢氏音差大約是四分之一個半音，約等於24音分 (23.46)。(音分 cent 指的是將平均律的半音均分成100分，24音分就是百分之24個半音的意思。也可以說，12平均律就是讓12個五度均分了這個音差，平均律的五度是 700，與純律五度702，每個五度差2 音分。)
有了這個基礎，接下來，再來看我們要談的大三度的難題。
畢式音階中，大三度的關係明確的就是 C → G → D → A → E ( 從C出發，E必須移低兩個八度 )，也就是 81：64。我們可以將這過程，簡化成兩個大二度相疊，就是
9/8 * 9/8 = 81/64 。請記住E：C = 81/64，這是音階 (旋律) 的大三度。
從泛音列中，我們知道第五倍頻就是基音的大三度，從 C起算的話就是 E，從泛音列中得到的和聲大三度，其比值是 5/4。
簡單的算術，我們看到問題了，一樣是大三度，音階與和聲的大三度卻不相同 (81/64 不等於 5/4)，簡單的說，音階的 E 高，而和聲的 E 低！或許，我們將這個比值化成音分比較好理解。
半音是100音分，大二度就是200音分，大三度則是400音分 (音分的算法是相加)。
我們來比較一下：
畢氏音階 的大三度是 407.82 音分
純律 (泛音列) 的大三度是 386.31 音分
平均律 的大三度是 400 音分
畢氏音階是最原始的音階定義，12音音階由此而來。泛音列是和聲的來源，和諧的聲響由此展開。然而，在受過嚴格平均律音感訓練的人耳中聽來，這兩者卻都是不準的！有件印象非常深刻的事，先跟大家分享。多年前，有位同齡的朋友，具備很優秀的小提琴演奏技術，同時，是基礎訓練驚人紮實的名校音樂班畢業。有次與他聊到克萊斯勒、卡薩爾斯等等名家的演奏錄音，他露出極為鄙視的眼神說到：喔，他們的音都不準！一直到自己對律學有了初步認識後，才理解當年他所說的不準從何而來。
音準可能沒有絕對的是非，但是對管、絃樂器、聲樂的演奏者而言，卻肯定是必須花時間去理解的一門學問。我常跟學生說，除非你學的是鍵盤樂器，否則，音準就是一生的問題。我相信，有人選擇最簡單的路 - 用平均律解決。然而，歷史上的音律發展，是從複雜、準確的純律，逐漸過渡到簡單、些微不準的平均律，在處理歷史上的作品時，要是不能理解起碼的音律變革，確實很難掌握演奏上細微的音程變化。歷史上，巴洛克、古典時期的作品應該是目前演奏學習上最主要的兩個時期，而在這兩個時期當下，平均律還只是理論上、數學上的理想，無數的音律學家的努力，也只能大約的慢慢的接近平均律，當時的調律法，今日通稱 Well Temperament，概念上，這是一種藉由犧牲部分次要音程，成就主要音程音準的一種調律系統。嚴格來說，弦樂器只是 "理想" 上純律的樂器，在四條空弦被限定的基礎上，小提琴的音準，有時候更是一種 Well Temperament 的實踐。
我們可以看到，決定調性、和聲性格的三度音，在律學上竟然有著這麼大的差異，而且從特定角度看都是對的。至此，應該可以理解，了解律學、運用律學，不只是一門重要學問，更是演奏藝術的重要核心啊！
排列組合c相加 在 Re: [問題] 排列組合- 看板SENIORHIGH - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
回個文吧，讓你知道這所謂的「註碼法」到底哪裡藏著加法原理和乘法原理
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A B C D E F （點的名稱一律標註於左下方）
以 I 點為例，來到 I 點前走捷徑必經過 H 點與 C 點
且 H 點與 C 點不可能同時經過，
因此我們可以把來到 I 點的捷徑分成二類
（分類是作排列組合極重要的步驟，要說得專業一點是說「分割」
分割：任二個集合交集為空集合，所有集合聯集為宇集
和分類離不開關係的就是「加法原理」
其實就是二個交集為空集合的集合，其聯集元素數等於各別元素數之和）
第一類是經過 H 再到 I 的捷徑
第二類是經過 C 再到 I 的捷徑
我們先算算第一類的捷徑有幾條？
假設已知從 A 到 H 的捷徑數有 x 條，而 H 到 I 的捷徑只有一條
由乘法原理可知，從 A 經 H 到 I 的捷徑數有 x*1 = x 條
也就是從 A 經 H 到 I 的捷徑數，和從 A 到 H 的捷徑數相等
同理，從 A 經 C 到 I 的捷徑數，和從 A 到 C 的捷徑數相等
因此，把這兩類相加，就是「註碼法」的方法啦
而在每一點旁寫的數字，其實就是從起點到這一點的「捷徑數」
以上用到排組中很基本而重要的「加法原理」和「乘法原理」
你要的乘法原理不就已經在其中了嗎？
※ 引述《jalien (有骨氣的人從不後悔)》之銘言：
: https://miupix.cc/pm-ALWZ3W
: 如圖，數格子用加的我沒問題
: 但有個怪咖同學問說這題是否可以用其他方法
: 例如排容或乘法原理算出來嗎？
: 板上高手雲集，小弟懇請賜教，先謝了
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